第4章空间力系4-1力系中，F=100N，F=300N，F=200N，各力作用线的位置如图4-1所示。试将力系向原点O简化。F.解由题意得F.22.Frr =-300x-200x-345NV5/1303FR=300×=250NV133001FR-=100-200x=10.6N图4-1V53 10.1-200xM.=-300xx0.3=-51.8N.mV13V52M,=-100×0.20+200×x0.1=-36.6N.m/1332M.=300x×0.2+200×x0.3=103.6N.mV5/13主矢FR=/F2+FR+F2=426N,Fr=(-345i+250j+10.6k)NM。=/M,+M,+M?=122N·m,M。=(-51.8i-36.6j+104k)N·m主矩4-21平行力系由5个力组成，力的大小和作用线的位置如图4-2所示。图中小正方格的边长为10mm。求平行力系的合力。42解由题意得合力F的大小为FR=EF.=1N+10N+20N-10N-15N=20NFR=20kN15N10N合力作用线过点（xc，yc，0)：1(15×40+10×30+20×20-10×10)=60mmXc=20I71(15×10+10×30+20×50-10×20-15×40)Yc=20图4-2=32.5mm4-3图示力系的3个力分别为F=350N，F,=400N和F,=600N，其作用线的位置如图4-3所示。试将此力系向原点O简化。解由题意得601600×-144NFR=350x2/1810090X80FR,=350x+400×0.707+600×0.866V18100=1010N80-6- 90FR:=350x400x0.707=-517N图 4-3/18100主矢FR=F2+F+F2=1144N40
40 图 4-1 图 4-2 图 4-3 第4章 空间力系 4-1 力系中，F1=100 N，F2=300 N，F3=200 N，各力 作用线的位置如图 4-1 所示。试将力系向原点 O 简化。 解 由题意得 N 345 5 2 200 13 2 FRx 300 −=×−×−= N 250 13 3 FRy 300 =×= N 6.10 5 1 FRz 200100 =×−= mN 8.513.0 5 1 2001.0 13 3 M x 300 ⋅−=××−××−= mN 6.361.0 13 2 M y 20020.0100 ⋅−=××+×−= mN 6.1033.0 5 2 2002.0 13 3 M z 300 ⋅=××+××= 主矢 N 426 2 R 2 R 2 R R FFFF xyz =++= ， N)6.10250345( R F = − + + kji 主矩 mN 122 222 O MMMM zyx ⋅=++= ， = − − kji ⋅+ mN )1046.368.51( MO 4-2 1 平行力系由 5 个力组成，力的大小和作用线的位置如图 4-2 所示。图中小正方格 的边长为 10 mm。求平行力系的合力。 解 由题意得合力 FR 的大小为 N 20N15N10N20N10N1 R FF z ++=Σ= − − = R = kF N 20 合力作用线过点（ Cx ， Cy ，0）： mm 60)1010202030104015( 20 1 xC =×−×+×+×= mm 5.32 )40152010502030101015( 20 1 = yC ×−×−×+×+×= 4-3 图示力系的 3 个力分别为 N 350 F1 = ， N 400 F2 = 和 F3 = N 600 ，其作用线的 位置如图 4-3 所示。试将此力系向原点 O 简化。 解 由题意得 N 144 2 1 600 10018 60 350' FR x −=×−×= N 0101 866.0600707.0400 10018 80 350' R = F y ×+×+×= N 517707.0400 10018 90 350' R −=×− − F z ×= 主矢 N 1441 2' R 2' R 2' R R FFF'F zyx =++=
Fr'=(-144i+1011j-517k)N90M.=-350xx60-400×0.707×120=-48000Nmm=-48N·m1810090M.=350xx90=21070N·mm=21.07N·m/181008060M.=350x×90-350xx60-600x0.866×90+600xX602/18×100V18100=-19400N·mm=-19.4N·m主矩M。=/M?+M+M2=55900N.mm=55.9N.mM。=(-48i+21.1j-19.4k)N·m4-4求图4-4所示力F=1000N对于=轴的力矩M-解把力F向x，y轴方向投影，得3F,=1000x=507NV351F =1000x=169NV35M.=xF,-yF,=-150×507-150x169=-101400N·mm=-101.4N·m4-5轴AB与铅直线成α角，悬臂CD与轴垂直地固图 4-4定在轴上，其长为a，并与铅直面=AB成θ角，如图4-5a所示。如在点D作用铅直向下的力F，求此力对轴AB的矩。(b)(a)图4-5解将力F分解为F，F2，F垂直于AB而与CE平行，F,平行于AB，如图4-5b所示，这2个分力分别为：F=Fsinα,F,=FcosαMAb(F)=MAB(F)+MAn(F)=F ·asin+0=Fasinαsin04-6水平圆盘的半径为r，外缘C处作用有已知力F。力F位于铅垂平面内，且与C处圆盘切线夹角为60°，其他尺寸如图4-6a所示。求力F对x，y，轴之矩。解（1）方法1，如图4-6b所示，由已知得Fy=Fcos60°,F.=Fcos300V3V3.FkF=Fcos60°cos30%i-Fcos60°sin30°j-Fsin60°k444241
41 图 4-4 E FR' = (−144i +1 011j − 517k) N 60 400 0.707 120 48 000 N mm 48 N m 18100 90 = −350× × − × × = − ⋅ = − ⋅ M x 90 21 070 N mm 21.07 N m 18100 90 = 350× × = ⋅ = ⋅ M y 60 2 1 60 600 0.866 90 600 18100 60 90 350 18 100 80 350 × − × × − × × + × × × M z = × = −19 400 N ⋅mm = −19.4 N ⋅m 主矩 55 900 N mm 55.9 N m 2 2 2 = + + = ⋅ = ⋅ MO M x M y M z MO = (−48i + 21.1j −19.4k) N ⋅m 4-4 求图 4-4 所示力 F=1 000 N 对于 z 轴的力矩 Mz。 解 把力 F 向 x，y 轴方向投影，得 507 N 35 3 Fy = 1 000× = 169 N 35 1 Fx = 1 000× = 101 400 N mm 101.4 N m 150 507 150 169 = − ⋅ = − ⋅ M z = xFy − yFx = − × − × 4-5 轴 AB 与铅直线成α 角，悬臂 CD 与轴垂直地固 定在轴上，其长为 a，并与铅直面 zAB 成θ 角，如图 4-5a 所示。如在点 D 作用铅直向下的力 F，求此力对轴 AB 的矩。 z B β A C θ β F F1 F2 (a) (b) 图 4-5 解 将力 F 分解为 F1，F2，F1 垂直于 AB 而与 CE 平行，F2平行于 AB，如图 4-5b 所 示，这 2 个分力分别为： F1 = F sinα ， F2 = F cosα ( ) ( ) ( ) M AB F = M AB F1 + M AB F2 sin 0 = F1 ⋅ a θ + = Fa sinα sinθ 4-6 水平圆盘的半径为 r，外缘 C 处作用有已知力 F。力 F 位于铅垂平面内，且与 C 处圆盘切线夹角为 60°，其他尺寸如图 4-6a 所示。求力 F 对 x，y，z 轴之矩。 解 （1）方法 1，如图 4-6b 所示，由已知得 F = F cos 60° xy ， F = F cos 30° z F F i F j F k i Fj Fk 2 3 4 1 4 3 = cos60°cos30° − cos60°sin 30° − sin 60° = − −
30%1600()309(b)(a)图4-6V3F1Fh-M.(F)=F.rcos30°=(h-3r)244/3V3V3M.(F)Fh+F-rsin30°F(h+r)4241M.(F)=-Fcos60°r Fr2（2）方法2V3V31-Fi-F=Fk24 V31rj+hk-ri+rc=22jkV3hM,(F)==M.i+M.i+M.k-r223E-F424V3rhh-rV3F22M, =(h-3r),M,F(h+r)V3V3V344EFF2244r1221M. =-FrV32新A44-7空间构架由3根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图4-7a所示。A，B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10kN，求铰链A，B和C的约束力。取节点D为研究对象，设各杆受拉，受力如图4-7b所示。平衡：解(1)ZF,=0,FBcos45°-F,cos45°=0(2)ZF,=0,-F,sin45°cos30°-F,sin45°cos30°-Fccos15°=042
42 C y 60° F 30° z O r 30° 30° x (a) (b) 图 4-6 ( 3 ) 4 cos30 2 3 4 1 ( ) h r F M Fh F r x F = − ⋅ ° = − ( ) 4 3 sin 30 2 3 4 3 M ( ) Fh F r F h r y F = + ⋅ ° = + M F r Fr z 2 1 (F) = − cos60° = − （2）方法 2 F Fi Fj Fk 2 3 4 1 4 3 = − − rC = ri + rj + hk 2 3 2 1 i i k i j k M A F M x M y M z F F F r h r = = + + 2 3 - 4 1 - 4 3 2 3 2 ( ) ( 3 ) 4 2 3 - 4 1 - 2 3 h r F F F r h M x = = − ， ( ) 4 3 4 3 2 3 - 2 F h r F F r h M y = = + Fr F F r r M z 2 1 4 1 - 4 3 2 3 2 = = − 4-7 空间构架由 3 根无重直杆组成，在 D 端用球铰链连接，如图 4-7a 所示。A，B 和 C 端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在 D 端的物重 P=10 kN，求铰链 A，B 和 C 的约 束力。 解 取节点 D 为研究对象，设各杆受拉，受力如图 4-7b 所示。平衡： ∑ Fx = 0 ， cos 45° − cos 45° = 0 FB FA （1） ∑ Fy = 0 ，− FA sin 45°cos30° − FB sin 45°cos30° − FC cos15° = 0 （2）
ZF.=0,-F,sin45°sin30°-F,sin45°sin30°-F.sin15°-P=0(3)P=10kN解得F,=F,=-26.4kN（压）Fc=33.5kN（拉)130°(b)(a)图4-74-8在图4-8a所示起重机中，已知：AB=BC=AD=AE：点A，B，D和E等均为球铰链连接，如三角形ABC的投影为AF线，AF与y轴夹角为α。求铅直支柱和各斜杆的内力。F(a)(b)FD(c)(d)图4-8解（1）节点C为研究对象，受力及坐标系如图4-8d所示，其中x轴沿BC，v轴铅直向上。ZF,=0,-FcB-FcAcos45°=0(1)(2)ZF,=0,-P-Fc sin45°=0解得Fc=-/2P（压)，FcB=P（拉)(2）节点B为研究对象，受力及坐标系如图4-8b、图4-8c所示43
43 ∑ Fz = 0， − FA sin 45°sin 30° − FB sin 45°sin 30° − FC sin15° − P = 0 （3） P=10 kN 解得 FA = FB = −26.4 kN （压） FC = 33.5 kN （拉） x y P D z FA FC 30° 45° 15° C 45° FB O (a) (b) 图 4-7 4-8 在图 4-8a 所示起重机中，已知：AB=BC=AD=AE；点 A，B，D 和 E 等均为球铰链 连接，如三角形 ABC 的投影为 AF 线，AF 与 y 轴夹角为α 。求铅直支柱和各斜杆的内力。 x y E 90° D B P B C D E A 45° A θ (a) (b) A x y 1 y z E 45° 45° D FBC FBA FBD FBE B θ FCA FBC′ z C P 45° y (c) (d) 图 4-8 解 （1）节点 C 为研究对象，受力及坐标系如图 4-8d 所示，其中 x 轴沿 BC，y 轴铅直 向上。 ∑ Fx = 0， − FCB − FCA cos 45° = 0 （1） ∑ Fy = 0 ， − P − FCA sin 45° = 0 （2） 解得 FCA = − 2P （压）， FCB = P （拉） (2) 节点 B 为研究对象，受力及坐标系如图 4-8b、图 4-8c 所示
ZF,=0,(FBp-FBE)cos45sin45°+FBcsinQ=0(3)ZF,=0,-(FBD+FBE)cos45°+FBc COs=0(4)ZF,=0,-FBA-(FBD+FBE)sin45°=0(5)解得FBe=P(cos+sin),FBD=F(cos-sin),Fan=-2Pcose4-9图4-9a所示空间桁架由杆1，2，3，4，5和6构成。在节点A上作用1个力F此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45°角。△EAK=AFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。45XFFNFF/1Ci-M(a)(b)图 4-9（1）节点A为研究对象，受力及坐标如图4-9b所示解ZF, =0, (F -F)cos45°=0(1)ZF,=0,F,+Fsin45°=0(2)(3)ZF, =0, -(F+F,)sin45°-Fcos45°=0-F=-5kN，F, =-7.07kN解得F=F,=2（2）节点B为研究对象，受力如图4-9b所示(4)ZF=0,(F-F)cos45°=0(5)ZF, =0, F,sin45°-F, =0ZF. =0,-(F +F, + F)sin45°= 0(6)解得F =F,=5kN (拉),F,=-10kN (压)4-10如图4-10a所示，3脚圆桌的半径为r=500mm，重为P=600N。圆桌的3脚A，B和C形成1等边三角形。若在中线CD上距圆心为α的点M处作用铅直力F=1500N，求使圆桌不致翻倒的最大距离a。LFMYM(a)(b)图4-10解设圆桌中心为D，AB中点为E，则DE=rsin30°=250mm。取圆桌为研究对象，受力如图4-10b所示。若在点M作用力F使桌刚要翻倒，则此时FNc=0，力系对轴AB的力矩平衡方程ZMAB=0,F.ME-W·DE=0W600 NME =·DE=×250mm=100mmF1500N44
44 A ∑ Fx = 0，(FBD − FBE ) cos 45sin 45° + FBC sinθ = 0 （3） ∑ Fy = 0 ， ( ) cos 45 cos 0 2 − FBD + FBE ° + FBC θ = （4） ∑ = 0 Fz ， − − ( + )sin 45° = 0 FBA FBD FBE （5） 解得 F = P(cosθ + sinθ ) BE ， F = F(cosθ − sinθ ) BD ， FAB = − 2Pcosθ 4-9 图 4-9a 所示空间桁架由杆 1，2，3，4，5 和 6 构成。在节点 A 上作用 1 个力 F， 此力在矩形 ABDC 平面内，且与铅直线成 45°角。ΔEAK = ΔFBM 。等腰三角形 EAK，FBM 和 NDB 在顶点 A，B 和 D 处均为直角，又 EC=CK=FD=DM。若 F=10 kN，求各杆的内力。 z 45° F1 F3 F2 E C K x B F6 F4 F D M y 45° F F3 ′ F5 (a) (b) 图 4-9 解 (1) 节点 A 为研究对象，受力及坐标如图 4-9b 所示 ∑ Fx = 0，( ) cos 45 0 F1 − F2 ° = （1） ∑ Fy = 0 ， F3 + F sin 45° = 0 （2） ∑ = 0 Fz ， ( )sin 45 cos 45 0 − F1 + F2 ° − F ° = （3） 解得 5 kN 2 1 2 = − − = = F F F ， F3 = −7.07 kN （2）节点 B 为研究对象，受力如图 4-9b 所示 ∑ Fx = 0，(F4 − F5 ) cos 45° = 0 （4） ∑ Fy = 0 ， F6 sin 45° − F3 = 0 （5） ∑ = 0 Fz ， − (F4 + F5 + F6 )sin 45° = 0 （6） 解得 F4 = F5 = 5 kN （拉）， F6 = −10 kN （压） 4-10 如图 4-10a 所示，3 脚圆桌的半径为 r = 500 mm ，重为 P=600 N。圆桌的 3 脚 A，B 和 C 形成 1 等边三角形。若在中线 CD 上距圆心为 a 的点 M 处作用铅直力 F=1500 N， 求使圆桌不致翻倒的最大距离 a。 FC FB FA F P O A M B D C (a) (b) 图 4-10 解 设圆桌中心为 D，AB 中点为 E，则 DE=rsin30°=250 mm。取圆桌为研究对象，受 力如图 4-10b 所示。若在点 M 作用力 F 使桌刚要翻倒，则此时 FNC=0，力系对轴 AB 的力矩 平衡方程 ∑ = 0 M AB ， F ⋅ ME −W ⋅ DE = 0 250 mm 100 mm 1500 N 600 N = ⋅ DE = × = F W ME
a=DE+EM=350mm4-11图4-11a所示3圆盘A、B和C的半径分别为150mm，100mm和50mm。3轴OA，OB和OC在同1平面内，ZAOB为直角。在这3个圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10N，20N和F。如这3个圆盘所构成的物系是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F的大小和角θ。20N20NolCB20N10N10NM.20NM909AM0-90010NMM1ONM(a)(b)(c)图 4-11解画出3个力偶的力偶矩矢如图4-11b所示，由力偶矩矢三角形图4-11c可见Mc=/M2+M=/30002+40002=5000N.mm由图4-11a、图4-11b可得MMc=Fx100mm,F=50N100mm由图4-11b、图4-11c可得MA_3tan β=β= 36.87°=36°52'MB4"α=180°-β=143°084-12图4-12a所示手摇钻由支点B，钻头A和1个弯曲的手柄组成。当支点B处加压力Fx，F，和F,以及手柄上加上F后，即可带动钻头绕轴AB转动而钻孔，已知F.=50N，F=150N。求：（1)钻头受到的阻抗力偶矩M；（2)材料给钻头的约束力Fx，FA和FAz的值：（3）压力F和F,的值。X-xAFF(a)(b)图4-12解手摇钻为研究对象，受力如图4-12b所示(1)ZM.=0,M-Fx150mm=0(2)ZM,=0，F,×400mm-Fx200mm=0ZM,=0,-F,×400mm=0(3)ZF,=0,F+FAx-F=0(4)ZF,=0,F,+FA,=0(5)45
45 a = DE + EM = 350 mm 4-11 图 4-11a 所示 3 圆盘 A、B 和 C 的半径分别为 150 mm，100 mm 和 50 mm。3 轴 OA，OB 和 OC 在同 1 平面内，∠AOB 为直角。在这 3 个圆盘上分别作用力偶，组成各力 偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于 10 N，20 N 和 F。如这 3 个圆盘所构成的物系 是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力 F 的大小和角θ 。 B 20 N 20 N MC MA 90° β θ 10 N 10 N A MB C F F MA MB MC β θ − 90° (a) (b) (c) 图 4-11 解 画出 3 个力偶的力偶矩矢如图 4-11b 所示，由力偶矩矢三角形图 4-11c 可见 3 000 4 000 5 000 N mm 2 2 2 2 = + = + = ⋅ MC M A M B 由图 4-11a、图 4-11b 可得 MC = F ×100 mm ， 50 N 100 mm = = MC F 由图 4-11b、图 4-11c 可得 4 3 tan = = B A M M β ， β = 36.87° = 36°52' α = 180° − β = 143°08' 4-12 图 4-12a 所示手摇钻由支点 B，钻头 A 和 1 个弯曲的手柄组成。当支点 B 处加压 力 Fx ，Fy 和 Fz 以及手柄上加上 F 后，即可带动钻头绕轴 AB 转动而钻孔，已知 Fz = 50 N ， F = 150 N 。求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩 M；（2）材料给钻头的约束力 FAx ，FAy 和 FAz 的值；（3）压力 Fx 和 Fy 的值。 x C F B z Fy Fx y FAy FAx FAz M A A Fz (a) (b) 图 4-12 解 手摇钻为研究对象，受力如图 4-12b 所示 ∑ = 0 M z ， M − F ×150 mm = 0 （1） ∑ M y = 0， Fx × 400 mm − F × 200 mm = 0 （2） ∑ M x = 0 ， − Fy × 400 mm = 0 （3） ∑ Fx = 0， Fx + FAx − F = 0 （4） ∑ Fy = 0 ， Fy + FAy = 0 （5）
ZF.=O,-F.+FA-=0(6)M=2.25N.m,F,=75N,F,=0,F=75N,F=0N,F-=50N解得4-13如图4-13a所示，已知镗刀杆的刀头上受切削力F=500N，径向力F，=150N，轴向力F=75N，刀尖位于Oxy平面内，其坐标x=75mm，y=200mm。工件重量不计，求被切削工件左端O处的约束力。(a)(b)图4-13解镗刀杆为研究对象，受力如图4-13b所示。(1)ZF,=0,-F,+Fox=0(2)ZF,=0,-F,+Fo,=0ZF.=0,-F.+Fo=0(3)(4)ZM.=0,-Fx0.2m+M.=0(5)ZM,=0,F,×0.075m+M,=0(6)ZM.=0,F×0.2m-F,×0.075m+M.=0解得Fox=150N,Fov=75N,Fo-=500N;M、=100N·m，M=-37.5N-m（与图示反向），M.=-24.4N·m（与图示反向）4-14图4-14a所示电动机以转矩M通过链条传动将重物P等速提起，链条与水平线成30°角（直线O,x，平行于直线Ax）。已知：r=100mm，R=200mm，P=10kN，链条主动边（下边）的拉力为从动边拉力的2倍。轴及轮重不计。求支座A和B的约束力及链条的拉力。y(y)30Mp(a)(b)图4-14解取整个轮轴（包括重物P）为研究对象，受力如图4-14b所示：(1)ZM.=0,Pr-(F-F)R=046
46 ∑ = 0 Fz ， −Fz + FAz = 0 （6） 解得 M = 2.25 N ⋅ m ，Fx = 75 N ，Fy = 0，FAx = 75 N ，FAy = 0 N ，FAz = 50 N 4-13 如图 4-13a 所示，已知镗刀杆的刀头上受切削力 Fz = 500 N，径向力 Fx = 150 N， 轴向力 Fy = 75 N，刀尖位于 Oxy 平面内，其坐标 x=75 mm，y=200 mm。工件重量不计， 求被切削工件左端 O 处的约束力。 z y Fz Fx Fy Fz Fx x Fy M y M z M x (a) (b) 图 4-13 解 镗刀杆为研究对象，受力如图 4-13b 所示。 ∑ Fx = 0， −Fx + FOx = 0 （1） ∑ Fy = 0 ， −Fy + FOy = 0 （2） ∑ = 0 Fz ， −Fz + FOz = 0 （3） ∑ M x = 0 ， − Fz × 0.2 m + M x = 0 （4） ∑ M y = 0， × 0.075 m + = 0 Fy M y （5） ∑ = 0 M z ， Fx × 0.2 m − Fy × 0.075 m + M z = 0 （6） 解得 FOx = 150 N ， FOy = 75 N ， FOz = 500 N ； M x = 100 N ⋅m ， M y = −37.5 N ⋅m （与图示反向）， M z = −24.4 N ⋅m （与图示反向） 4-14 图 4-14a 所示电动机以转矩 M 通过链条传动将重物 P 等速提起，链条与水平线 成30° 角（直线 O1x1 平行于直线 Ax）。已知：r=100 mm，R=200 mm，P=10 kN，链条主动 边（下边）的拉力为从动边拉力的 2 倍。轴及轮重不计。求支座 A 和 B 的约束力及链条的 拉力。 P A x FAx r FAz z 1 z B FBx FBz 30° F2 F1 30° R O 1 x (a) (b) 图 4-14 解 取整个轮轴（包括重物 P）为研究对象，受力如图 4-14b 所示： ∑ M y = 0， ( ) 0 Pr − F1 − F2 R = （1）
(2)ZM,=0,-F×lm-(F+F,)cos30°x0.6m=0(3)ZM,=0,Fb-×lm+(E-F)sin30°×0.6m-P×0.3m=0ZF,=0,F+F+(F+F)cos30°=0(4)ZF.=0, F-+Fr+(F-F)sin30°-P=0(5)(6)补充方程：F=2F2解得F=10kN,F,=5kN;FAx=-5.2kN,FA-=6kN;FBx=-7.8kN,FB=1.5kN (+)4-15某减速箱由3轴组成如图4-15a所示，动力由轴输入，在轴1上作用转矩M,=697N·m。如齿轮节圆直径为D,=160mm，Dz=632mm，Ds=204mm，齿轮压力角为20°。不计摩擦及轮、轴重量，求等速传动时，轴承A，B，C，D的约束力。M(b)(c)(a)图4-15解（1）研究对象为轴AB，受力如图4-15b所示D=M,F2M,_ 2×697N.m=8712.5NZM.=0,2D0.16 mF=Fcosα,F=Fsinα=Ftanα=3171N10ZM,=0，F×200mm-F-×580mm=0，FgF,=3004N29ZF.=0,-FA--F-+F=0,F=5708NZM.=0,-F×200mm+F×580mm=0，Fx=1093NZF=0,F+F-F=0,F=-2078N（2）研究对象为轴CD，受力如图4-15c所示.D.-F.D=0ZM,=0,F322D2F632 mm×8 712.5 N = 26 992 NFa =D.t204mmF,=Fr,tan20°=9824NZM,=0，-F×200mm-Fg×435mm-Fp×580mm=0-8712.5Nx200mm-26992Nx435mm+F-×580mm=0FD-=-23248NZF=0,Fc-F-Fs-Fp-=0,Fc.=12456NZM.=0,Fl×200mm-F,×435mm+Fpx×580mm=03171N×200mm-9824N×435mm+Fp×580mm=0Fpx=6275N47
47 ∑ = 0 M z ， − FBx ×1 m − (F1 + F2 ) cos30°× 0.6 m = 0 （2） ∑ M x = 0 ， 1 m ( )sin 30 0.6 m 0.3 m 0 FBz × + F1 − F2 °× − P × = （3） ∑ Fx = 0， FAx + FBx + (F1 + F2 ) cos30° = 0 （4） ∑ = 0 Fz ， ( )sin 30 0 FAz + FBz + F1 − F2 ° − P = （5） 补充方程： 1 2 F = 2F （6） 解得 F1 = 10 kN ， F2 = 5 kN ； FAx = −5.2 kN ， FAz = 6 kN ； FBx = −7.8 kN ， FBz = 1.5 kN （←） 4-15 某减速箱由 3 轴组成如图 4-15a 所示，动力由轴 I 输入，在轴 I 上作用转矩 M1=697 N• m。如齿轮节圆直径为 D1=160 mm，D2=632 mm，D3=204 mm，齿轮压力角为 20°。不计摩 擦及轮、轴重量，求等速传动时，轴承 A，B，C，D 的约束力。 x z y A B M1 FBz FBx Fr Ft FAx x Fr ′ Ft ′ FCx FCz z 3 Fr 3 Ft FDy FDx D y C (a) (b) (c) 图 4-15 解 （1）研究对象为轴 AB，受力如图 4-15b 所示 ∑ M y = 0， 1 1 t 2 M D F ⋅ = ， 8 712.5 N 0.16 m 2 2 697 N m 1 1 t = × ⋅ ⋅ = D M F Ft = F cosα ， Fr = F sinα = Ft tanα = 3171N ∑ M x = 0 ， Ft × 200 mm − FBz ×580 mm = 0 ， 3 004 N 29 10 FBz = Ft = ∑ = 0 Fz ， − FAz − FBz + Ft = 0 ， FAz = 5 708 N ∑ = 0 M z ， − Fr × 200 mm + FBx ×580 mm = 0 ， FBx = 1 093 N ∑ Fx = 0， FAx + Fr − FBx = 0， FAx = −2 078 N （2）研究对象为轴 CD，受力如图 4-15c 所示 ∑ M y = 0， 0 2 ' 2 ' 3 t3 2 t ⋅ − ⋅ = D F D F 8 712.5 N 26 992 N 204 mm 632 mm ' t 3 2 t3 = F = × = D D F Fr3 = Ft3 tan 20° = 9 824 N ∑ M x = 0 ， − F' t×200 mm − Ft3 × 435 mm − FDz × 580 mm = 0 − 8 712.5 N × 200 mm − 26 992 N × 435 mm + × 580 mm = 0 FDz FDz = −23 248 N ∑ = 0 Fz ， FCz − F' t −Ft3 − FDz = 0 ， FCz = 12 456 N ∑ = 0 M z ， F' r×200 mm − Fr3 × 435 mm + FDx × 580 mm = 0 3171 N × 200 mm − 9 824 N × 435 mm + FDx × 580 mm = 0 FDx = 6 275 N
ZF,=0,F-F+F,-Fpx=0,F=-378N4-16使水涡轮转动的力偶矩为M.=1200N·m。在锥齿轮B处受到的力分解为3个分力：圆周力F，轴向力F和径向力F。这些力的比例为F：F：F=1:0.32：0.17。已知水涡轮连同轴和锥齿轮的总重为P=12kN，其作用线沿轴Cz，锥齿轮的平均半径OB=0.6m，其余尺寸如图4-16a所示。求止推轴承C和轴承A的约束力。F12-FOY8P-00FFMM1"FcyFaFeIC(b)(a)图4-16解整个系统为研究对象，受力如图4-16b所示。设B处作用F，F，F的合力F，则F=0.9402F12+0.172+0.322列平衡方程ZM.=0，M.-0.9402Fx0.60m，F=2127N得F=0.9402F=2000N，F,=0.17F=340N,F=0.32E,=640NZM,=0,-F×4m-F,×3m+F×0.6m=0(640×0.6-340×4)=-325N（)FAy=3ZM,=0,-F×4m+Fx×3m=0,Fxx2000N=2.67kN3ZF=0，-F+Fx+Fc=0，Fc=F-F=-667N（与图设反向）ZF,=0,F +FA,+Fc,=0,Fc,=-F,-FA,=-14.7N(-)ZF.=0,Fcy-F-P=0,Fc=F+P=12640N=12.6kN4-17如图4-17a所示，均质长方形薄板重P=200N，用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置。求绳子的拉力和支座约束力。解取薄板为研究对象，受力如图4-17b所示。尽量采用力矩式求解。ZM.=0,-Fx·AB=0,F=0ZMAc=0,FB-ABsin30°=0,F=0BCZM,=0,-Fsin30°.BC+P.=0，F=P=200N2P.ABZMC=0,-FA-·AB=0,1FA-=P/2=100N2ZF,=0,F-Fcos30°sin30°=0,F=86.6N48
48 ∑ Fx = 0， FCx − F' r +Fr3 − FDx = 0 ， FCx = −378 N 4-16 使水涡轮转动的力偶矩为 M z = 1 200 N ⋅m 。在锥齿轮 B 处受到的力分解为 3 个分力：圆周力 Ft，轴向力 Fa和径向力 Fr。这些力的比例为 Ft : Fa : Fr = 1: 0.32 : 0.17 。 已知水涡轮连同轴和锥齿轮的总重为 P = 12 kN ，其作用线沿轴 Cz ，锥齿轮的平均半径 OB = 0.6 m ，其余尺寸如图 4-16a 所示。求止推轴承 C 和轴承 A 的约束力。 z y FCz C FCy x FCx P FAy FAx B Fa Fr Ft O M z A (a) (b) 图 4-16 解 整个系统为研究对象，受力如图 4-16b 所示。设 B 处作用 Ft ，Fa ，Fr 的合力 F， 则 0.940 2 1 0.17 0.32 1 2 2 2 t = + + = F F 列平衡方程 ∑ = 0 M z ， M z − 0.940 2F × 0.60 m ， F = 2 127 N` 得 Ft = 0.940 2F = 2 000 N ， Fr = 0.17Ft = 340 N ， Fa = 0.32Ft = 640 N ∑ M x = 0 ， − Fr × 4 m − FAy × 3 m + Fa × 0.6 m = 0 (640 0.6 340 4) 325 N 3 1 FAy = × − × = − （←） ∑ M y = 0， − Ft × 4 m + FAx × 3 m = 0 ， 2 000 N 2.67 kN 3 4 FAx = × = ∑ Fx = 0， − Ft + FAx + FCx = 0， FCx = Ft − FAx = −667 N （与图设反向） ∑ Fy = 0 ， Fr + FAy + FCy = 0 ， FCy = −Fr − FAy = −14.7 N （←） ∑ = 0 Fz ， FCy − Fa − P = 0 ， FCz = Fa + P = 12 640 N = 12.6 kN 4-17 如图 4-17a 所示，均质长方形薄板重 P=200 N，用球铰链 A 和蝶铰链 B 固定在墙 上，并用绳子 CE 维持在水平位置。求绳子的拉力和支座约束力。 解 取薄板为研究对象，受力如图 4-17b 所示。尽量采用力矩式求解。 ∑ = 0 M z ， − FBx ⋅ AB = 0 ， FBx = 0 ∑ M AC = 0， F ⋅ ABsin 30° = 0 Bz ， = 0 FBz ∑ M y = 0， 0 2 − sin 30°⋅ + ⋅ = BC F BC P ， F = P = 200 N ∑ M BC = 0 ， 0 2 ⋅ − F ⋅ AB = AB P Az ， FAz = P / 2 = 100 N ∑ Fx = 0， FAx − F cos30°sin 30° = 0， FAx = 86.6 N
ZF,=0,FA-Fcos30°sin30°=0,FAy=150N30(a)(b)图4-174-18图4-18a所示6杆支撑1水平板，在板角处受铅直力F作用。设板和杆自重不计，求各杆的内力。1F5000005001000(a)(b)图4-18解截开6根杆，取有板的部分为研究对象，受力如图4-18b所示。ZM, =0, -F, cosO-AD=0(1)ZMBF=0,-FcosO.BC=0(2)F.ADZF=0，=0(3)FD解得F,=0,F =0, F=0ZMeG=0, (F,-F).EFsinβ=0(4)ZMAD =0,(F, +F)·AB=0(5)ZMBD =0,(F-F)-ABsinβ=0(6)解得F=F（拉)，F=-F（压)，F=-F（压)4-19无重曲杆ABCD有2个直角，且平面ABC与平面BCD垂直。杆的D端为球铰支座，A端受轴承支持，如图4-19a所示。在曲杆的AB，BC和CD上作用3个力偶，力偶所在平面分别垂直于AB，BC和CD三线段。已知力偶矩M,和M，，求使曲杆处于平衡的力偶矩M,和支座约束力。49
49 ∑ Fy = 0 ， FAx − F cos30°sin 30° = 0， FAy = 150 N y x z E A B P D C FAx FAz FAy F FBz FBx 30° 30° (a) (b) 图 4-17 4-18 图 4-18a 所示 6 杆支撑 1 水平板，在板角处受铅直力 F 作用。设板和杆自重不计， 求各杆的内力。 z y G E F x A D C θ B β θ F1 F2 F3 F6 F4 F5 F 500 (a) (b) 图 4-18 解 截开 6 根杆，取有板的部分为研究对象，受力如图 4-18b 所示。 ∑ = 0 M z ， cos 0 − F2 θ ⋅ AD = （1） ∑ = 0 M BF ， cos 0 − F4 θ ⋅ BC = （2） ∑ Fx = 0， 6 ⋅ = 0 FD AD F （3） 解得 0 F2 = ， 0 F4 = ， F6 = 0 ∑ M EG = 0 ，(F3 − F)⋅ EF sin β = 0 （4） ∑ = 0 M AD ，(F3 + F5 )⋅ AB = 0 （5） ∑ = 0 M BD ，(F1 − F5 )⋅ ABsin β = 0 （6） 解得 F3 = F （拉）， F5 = −F （压）， F1 = −F （压） 4-19 无重曲杆 ABCD 有 2 个直角，且平面 ABC 与平面 BCD 垂直。杆的 D 端为球铰支 座，A 端受轴承支持，如图 4-19a 所示。在曲杆的 AB，BC 和 CD 上作用 3 个力偶，力偶所 在平面分别垂直于 AB，BC 和 CD 三线段。已知力偶矩 M 2和 M3 ，求使曲杆处于平衡的力 偶矩 M1和支座约束力