☆个案教学 趣味鲩计案剑（三） ●中国人民大学副校长表卫 乘客购买机票后而没来乘机的概率x,若假定 售机票的学问 个航班的75位乘客是从乘客中随机抽取的，即每个 乘客间是互相独立的，且都有相同的x值，空座位数 某航空公司新开辟了一条航线，在最初的20个 x服从二项分布，20个航班共有75×20=1500个座 班中，每个航班的T5个座位都被全部预订出去 位，其中有》xL.=2×1+3×4+.+10×0+11× 了，在飞机起飞之前，每个航班却发现有个别乘客没 2=120个室位是空室位.这样，我们用20个班数 来乘机显然，坐不满的飞机会给航空公可带来经济 据估计的空座位率x120/1500 根失，经过对最初20个航班资料的整理，得到如下 .08来求 次分布的P(3),即有 空座位的次数分布 航空座位的次数分布 P(3 0.08'0.92) 0.08 空南位的个数 航班次数 得出的020比用二项分布算出的 2 008 5要高得多 3 假如该航空公可决定每个航班售出78张机果 0 同时假定来乘飞机的乘客是从全部乘客中随机抽出 5 的样本，那么来乘飞机的超过75人的概率是多少？ 6 这个同题就是求在售出的78张机票中，来乘飞 7 机的达76人，77人和78人的概率，即 8 C(1-0.08)w(0.08)2+C7(1-0.08) 9 （0.08)1+C2(】-0.08)0±0.046 10 这样，若每个就班售出78张机票，在登机时因 11 座位已满面无法登机的风验是0.046，即早均每100 合计 20 个航班中会有4.6个航班发生这种风险，航空公可司 在考康不同的方案时也考康每个航班售80张机票 如果每个航班只售？5张机票，则航空公司面 显然座位已满无法登机的风险会更大，在n80时 普乘客没有乘机的风险，当然，航空公司也可以在售 项分布的分布律已经给出 票时多售一些，但这样又面临普超过5个人来登机 Y P(Y) Y P(Y) 的风险，为了减少风险，制定出更合理的方案，航空 800.00 730.15 公司需要掌撒没来登机的概率和规律。在不知道购 79 0.01 72 0.12 蒸后因故网夹释机的幅率时，我们就露零利用实 0.03 0.08 数据估计这一概率，当然，我们从概率论的大数定律 0.0 知道，实际据多，其样本的相对频率越接近实 率，让我们来看看在75个座位中有3个空座位情 航班的样 本数据估 0.01 .4/20 高 是由于样 这时发生有票而无法登机的风 险增加到 ,现在，让我们来估计 .2 42 1994-2010Chna Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net ☆个案教学 趣味 统 计 素 例 三 中 国人 民大 学副 校 长 农 卫 愁 机 票 的 学 问 某航空公司新开辟 了一条航线 。 在最初的 个 航 班 中 , 每个航 班 的 个 座位 都被 全 部预 订 出去 了 在飞机起飞之前 , 每个航班却发现有个别乘客没 来乘机 显然 , 坐不满的飞机会给航空公司带来经济 损失 经过对最初 个航班 资料的整理 , 得到 如 下 空座位的次数分布 航班 空座位的次数分布 空 座 位的个数 航班 次数 合计 匕月﹃︸ 乃八丹 如果每个航班 只售 张机票 , 则航空公司 面 临 粉乘 客没有乘机的风 险 当然 , 航空公 司也可以 在售 票时多售一些 , 但这样又 面临普超过 个人来登机 的风 险 为了减少风 险 , 制定出更合理的方案 , 航空 公 司祷要掌握没来登机 的概率和规律 在不知道购 票 后 因故没 来登机 的概率 时 , 我们就摇要 利用 实 际 数据估计这一概率 。 当然 , 我们从概率论的大数定律 知道 , 实际数据越多 , 其样本的相对颇率越接近实际 概率 让我 们来看看在 个座位 中有 个空座位情 况 若用 次 航班 的样 本数 据 估计 , 即 一 , 显 然 这个概率估计值太 高 , 这是 由于 样 本数据较少导致误差的影 响 。 现在 让我 们来估计某 · 一乘客购 买 机票后 而 没 来乘机的概率 二 。 若假 定 一 个航班的 位乘客是从乘客中随机抽取 的 , 即每个 乘客间是互相独立的 , 且都有相同的 二 值 , 空座位数 服从二项分布 , 个航班共有 一 。个座 位 , 其 中有 习 、 一 火 . 只 。 个座位是空座位 。 这样 我们用 个航班数 据估计的空座位率 二 。 。 现在我们 用估计值 二 。 来求二次分布的 , 即有 个 空座位的概率 早 , ’ 显 然 , 实 际 数据 得 出的 。 比用 二 项 分 布 算 出 的 要高得多 。 假如该航空公司决定每个航班售出 张机票 , 同时假定 来乘飞 机 的乘客是从全部乘客中随机抽 出 的样本 那 么来乘飞机的超过 人 的概率是 多少 这个问题就是求在售出的 张机票 中 , 来乘飞 机的达 人 、 ” 人和 人 的概率 , 即 不昌 一 ’ 不石 一 ” ‘十 子昌 一 去 这样 , 若每个航班售出 张机票 , 在登 机 时因 座位 已满而无法登机的风险是 , 即平均每 。 个航班 中会有 个航班发生这种风险 。 航空 公司 在考虑 不 同的方案时也考虑每个航班售 张机票 , 显然座位 已满无法登机的风险会更大 在 时 二项分布的分布律 已经给出 口月门了, , 气亡内月﹃了 最大容 这时发生有票而无法登机的风险增加到 十 十 十
☆个案教学 预订80张机票的方案是否可行，不仅要看无法登机 =1000[75-n·r] 风险的大小，最主要的是箭婴计算平均机会损失 =1000[75-75(0.92) (Expected Opportuninty Loss,简记为EOL),即在 =6000(元) 某种方案下的平均损失额（在经济学与机会成本中 另外一种更简洁的算法是购票后没来登机的平均 的念相同》，若来登机的乘客人数少于75人，每空 数为：75×0.08=6，每一个座位损失1000元，则 个座位就损失1000元人民币。反之，若登机人数 1000×6=6000(元). 超过75人，则按照一般惯例，无法登机的乘客可以 经过对这两个方案的比较，显然售80张机票比 得到2000元人民币，即除退还1000元机票费用，还 仅傅75张更好-些，每个航班可以减少3440元的 赔偿同样价格的的损失费用。按照这一原则就得到 摄失。若一年365天每天飞一个航班，售80张机票 如下EOL的计算表： 比仅售75张机票多收入3440×365=1255,600元。 那么预售80张机票是否是最优的方案呢？经计算 P(y) g(y) g(y)·P(y) 我」得到如下不同预售机票方案的EOL: 0.0 10,000 0 n EOL n EOL 79 0.01 8,000 80 78 0.03 6.000 10 84 5130 79 2830 0.03 4,000 83 4020 78 3415 16 2,000 82 3170 4200 0.15 0 76 94 0.17 1,000 17o 73 0.15 2.000 21 0.12 0.08 经计算，我们得到最低的机会损失 80.另外 70 0.05 5,000 种求最优n的方法是，在n为多少时平均会有75 69 0.03 6.000 180 人登机，宽=7 0.02 z.000 140 n=6=81.5 8,000 8 用这种商单的方法得到的最优 =81.5,但我 合1计1.0 E0L.=2560(元) 计 最优 时的 庙位 而大 的损 现在我]已经算出每个航班预计0个座位的 陪 （即仅退还机 平均机会损失是2560元，那么若采取保守稳健的方 面不付赔 式，即只顶订75张机果，平均机会损失是多少？由于 型、机会损 在这种情况下只发生空座位的损失而无超过75人 和最优方案等统计知识和管理 知识分析了就空公 登机的赔付，因而机会损失是线性的： 预订机票自 馆预订房间、图书征订等问题 机会报失=0L=1000(75一y 是相似的何 ，我们应该草这一案例的思想，去解 则有 决有关的实际题， E(0L)=1000f75-E(y)1 (责任编辑马士龙》 ·43。 4-1Chma codem Joumal Flecrone Pbhn Hollrsp
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net ☆个案教学 预订 张机票的方案是否可行 , 不仅要看无法登机 风 险的大 小 , 最 主要 的是 需 要 计算平均 机 会 损 失 , 简记 为 , 即在 某种方 案下的平均损失额 在经济学与机 会成本 中 的概念相 同 。 若来登机的乘客人数少于 人 , 每空 一个座位就损失 元 人 民 币 。 反之 , 若登机 人数 超过 人 , 则 按照 一般惯例 , 无法 登机 的乘 客可 以 得到 。 元人 民币 , 即除退还 元机票费用 , 还 赔偿同样价格的的损失费用 。 按照这一原则就得到 如 「 的计算表 「 一 · 二 〕 一 〕 元 另外 一 种更 简洁的算法是 购票后 没来登机 的平均 数 为 火 一 。 每 一 个 座 位 损 失 。元 , 则 元 。 经过对这两个方案的 比较 , 显然售 张机票 比 仅售 张更好 一 些 , 每个航班 可 以 减少 。元 的 损失 。 若一年 “ 天每天飞一个航班 , 售 张机票 比仅售 张机票多收入 , 元 。 那么预售 张机票是否是最优的方案呢 经计算 , 我们得到如下不同预售机票方案的 , , , , , , , , , , , , 经计算 , 我们得到最低的机会损失 二 。 另外 一种求最优 的方法是 在 为多少 时平均会有 人登机 , 即 二 丁 之 连吕目月匕亡口月︺了,︷ 自白八内三 , 合计 元 现在 我们已经算出每个航班预计 个座 位 的 平均机会损失是 元 。 那么若采取保守稳健的方 式 , 即只预订 张机票 , 平均机会损失是多少 由于 在这种情况 下 只发生空座位的损失而 无超 过 人 登机 的赔付 , 因而机会损失是线性的 机会损失 一 一 则有 用 这种简单 的方 法得 到 的最 优 一 , 但 我 们 实 际计算的最优 , 原 因是少于 时的损失是每 个 座 位 。元 。 而 大于 时的损失是 每个座 位 元 。 若超过 的也 只陪 元 即仅退还 机 票钱而不付赔款 , 那么最优 应 为 。 这个案例应用 了二项分布 、 数学期望 、 机会损失 和最优方案等统计知识和管理知识分析了航空公司 预订机票的间题 。 旅馆预订房 间 、 图书征订等间题都 是相似的间题 , 我们应该掌握这一案例的思想 , 去解 决有关的实际 间题 。 一 〕 责任编辑 马士龙