☆个案教学 趣味绕计素例（八） ●中国人民大学副校长衰卫 品，这样，本应该停下来检查的，知没能发现问题而 产品质量控制能否降低成本？ 继链生产出大最不合格品，现在让我们来计算这种 议时，各择假设H,生产异常是真的，但却当成 其开关厂生产一种小巧但又结物复杂的开关 H,为真而接受下来，显然，这时犯的是第二类错误 根据过去的数据资料知道，即使生产过程都正常，也 记为，此时，n=10,x=60%(生产异常)，用二项分 会有20%的产品有问题.如果生产过程中出现了问 布计算得到 题，并且当不合格品高达60%时，生产过程必须立 日=P(S≤2)=1-P(S≥3 即停止，查出题来源并加以纠正 1-C0.6)°(0.4)-C(0.6)(0.4) 主管生产的负责人提出了一个质量控制检验的 Ca(0.6r0.4 合格，生产 来检在 与a相 犯第二类铅误的概率并不大 、要检验 个抽样方案，必须考虑如下的费用 信息 出质疑。 历史资 记载“生产界常“发生的工作目大 约占5% “且生产异常义设有发现，大约要支出 安照生产 就会 18,000元去补损失 产检查。而实际 生产过程 一方面，若生产正常时停下来检查，损失 查，我们的问题是：出现这种情况的概率是多少？在 的费用大约为3,000元 .最后要考虑的是样本费用，每个样本的固定 费用是100元，另加上每个开关10元的变动费用： 备择假设H就是“生产异常”了。当原假设H为真 考患上述信息后，计算平均每天的赞用支出， 时（即生产过程正常），由于样本随机性所致，误将正 平均费用=生产异常时的费用十生产正常时的 常的生产 过程判定为生产异常，这是假设检验中的 费用十抽样费用 第一类错误，记为a, 在本题中，n=10,x=20%(生 =18,000元·(0.05)(0.012)+3,000元(0.95】 立正常)，用二项分布计算： (0.322)+[100元+10元(10)] a=P(S≥3)=1-P(S≤2 =10.80元+917.70元+200元 =1-C9(0.2)°(0.8)1-C(0.2)(0.8) =1128元 C1(0.2)(0.8)) 按照原来的方案，平均每天需支付1128元费 =0.322 用。 二、那位懂统计的管理人员又提出了另外一方 要比较各种不同的抽样方案的费用支出，首先 面的问题.当生产过程已经不正常，即实际不合格品 我们来看在不进行抽样检验时的费用支出。在不抽 率已达60%左右，但样本中却没有超过2个不合格 样条件下，抽样费用项为0，两个抽样误差。和B也 43 1994-2010 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.enki.net
☆个案教学 袭翅 球 统 计 素 例 ’ 中 国人 民大 学副 校 长 衷 卫 产品质量控制能否降低成本 某开关 厂 生产一种小巧 但又 结构复杂的开关 。 根据过去的数据 资料知道 , 即使生产过程都正 常 , 也 会有 的产 品有 问题 。 如果生产过程 中出现 了问 题 , 并且 当不合格 品高达 时 , 生产过 程 必 须立 即停止 , 查 出问题来源并加以纠正 。 主管生产的负责人 提出了一个质量控制检验的 方案 在每天上班后第一个小时的产 品中随机抽出 个开关进行检验 , 如果有 个或 个 以上 产品不 合格 , 生产过程应该停下来检查 。 一 、 针对这一方案 , 一位学过统计的管理人 员提 出质疑 。 他指 出 , 即使生产过 程完全正 常 , 由于样本 的随机性 , 也可能在 个开关 中出现 个或 个以 上不合格品 的情况 。 按照 生 产负责人的方案就会停 产检查 。 而 实际 上 , 生 产过 程 正 常没 有必要停产检 查 。 我们的间题是 出现 这种情况 的概率是多少 在 假设检验 中这种概率 叫什么 在 这个例子 里 , 原假设 。 是 “ 生产正 常 ” , 那么 备择假设 就是 “ 生产异常 ” 了 。 当原假设 。 为真 时 即生产过程正 常 , 由于 样本随机性所致 , 误将正 常的生 产过程 判定为 生 产异常 , 这是假设检验 中的 第一类错误 , 记 为 。 。 在本题 中 , 一 , 二 写 生 产正 常 , 用二项分布计算 一 一 全 。 “ ‘ 一 。 ‘ ’一 。 “ 二 、 那位懂统计的管理 人员又 提 出了另外一 方 面的问题 。 当生产过程 已经不正常 , 即实际不合格品 率 已达 左右 , 但样本 中却没 有超过 个 不合格 品 。 这样 , 本应该停下来检查的 , 却没能发现问题而 继续生产出大量不合格品 。 现在让我们来计算这种 概率 。 这时 , 备择假设 , 生产异常是 真 的 , 但却当成 。 为真而接受下来 。 显然 , 这时犯的是第二类错误 , 记为 。 此 时 , , 二 生产异常 , 用二项分 布计算得到 毛 一 一 。 “ ’ 一 。 ’ , 一 荃 。 “ “ 与 相 比 , 犯第二类错误的概率并不大 。 三 、 要检验一个抽样方案 , 必 须考虑如下的费用 信息 历史资料记载 “ 生 产异 常 ”发 生 的工作 日大 约 占 。 一旦 生产异 常又 没 有发现 , 大约 要 支 出 , 元去弥补损失 。 另一方面 , 若生 产正 常时停 下来检查 , 损失 的费用大约 为 , 元 。 最后要考虑 的是样本费用 。 每个样本的固定 费用是 元 , 另加上每个开关 元的变动费用 。 考虑上述信息后 , 计算平均每天的费用支出 。 平均费用 生产异常时的费用 生产正 常时的 费用 抽样费用 , 元 · , 元 元 元 〕 一 元 元 元 元 按 照 原 来的方 案 , 平均 每天 需 支付 元 费 用 。 要 比较各种不 同的抽样方案的费用支出 , 首先 我们来看在不进行抽样检验时的费用支 出 在不抽 样条件下 , 抽样费用 项为 。, 两个抽样误差 。 和 日也
女个案教半 不可能发生，这时，只有当生产过程异常时才发生 3,00元(0.95)(0.004)+20元-533元 计算结果证实 了n=12中，k=6时最优。这时 费用=18,000元(0.05)(1)+3,000元 的干 肉每日费用416元比n=10,k=5的43元雯 (0.95)(0)+ =900元+0+0 低，此时，尽管多抽了两个开关，增加了20元的抽样 变动费用，但由于α和B的降低还是使平均费用有 00元 所下降。 有愿的是，在这里，不抽样比抽样的费用还要节 那么和k取什么值时平均费用最低呢？通过 省，说明若不认真计算，有时虽然选择了抽样方案 计算机模拟或高级贝叶所方法，发现n=18,k=8时 但费用并不节省。因此，不一定抽样检验总是必需 平均费用最低。 的， 对于n一18，k=8的a和B,既可以用二项分布 四，抽取10个开关作为样本，已算出k=3作为 也可以用正态近似计算。下面我们用正态近似计算， 检验临界值的效果并不好，那么k=4,5,6的效果如 并且对离散数据连续校正。对于。值，有 何呢？按服前面计算。和日的方法并改变不同的k z-P-0=-7518-02-230 值，我们得到： √-√20 k=4,平均费用=18,000元(0.05)(0.055)+ 3,000元(0.95)(0.121)+200元-594元 =P(Z>2.30)=0.011 k=5,平均费用=18,000元(0.05)(0.166)十 对于值，相似的有 3,000元(0.95)(0.033)+200元=443元 7= 15/18-0.60=-1.59 k=6,平均费用=18,000元(0.05)(0.367)十 √g 3.000元(0.95)(0.006)+200元=547元 g=p(Z<-1.59)=0.056 我们知道，在样本容量n固定的情况下，a要 小，甲就增大：反之亦然，因面取k大于6时，B值将 平均费用=18,000元(0.05)(0.056)+3.000 变得很大，平均费用也将增加。在n=10时，k=5就 元(0.95)(0.011)+[100元+10元(18)]≈362元 是最优的.那么若n=12呢？我们从n=10判断，当 这样，对于该企业最优的决策是每天轴取18个 n=12时，k一6应是最优的。计算结果如下： 开关的随机样本，井并选择k=8,即有8个成8个以 上开关不合格就停产检查。这样平均每天支出的费 k=5,平均费用=18,000元(0.05)(0.057)+ 3,000元(0.95)(0.073)+220元=479元 用约为362元，比起不抽样每天支出900元要节省 538元 -年中，若工作日为300天，可以节省538 k=6,平均费用=18,000元(0.05)(0.158)+ 3,000元(0.95)(0.019)+220元=416元 元×300=161,400元 k=7,平均费用=18,000元(0.05)(0.335)+ (责任编辑 马士龙) (上第47页)下拉单中选择“公式”命今，在“公 放在作为排序依据的列上其次从“表格”下拉菜单 式根中易示“=SUM「ABOVE.回 车确认，即自 中洗择“排序”命令，在弹出的 动在“合计行填人“234.28” 时活餐中选定排序依 据、类型，递增或道减等然后同车确 第三步，计算各种产品销售额比重.首先将光 个元，从充先标 完成排序，在对话框中列有 依 魏至BM行的后 “举开 必 中洗择“公式”命令，在“公式”框 三个单击“排序依报 在“字式#列中洗择 0.0%并加0使成 “0.00%,然后回车确认，即在该单元格中填入 拉 拼 421.63”下五地 品均此 字 可自由选 框后 四)数据排序 两个按 ,可任 上举表 3按销售客 排序为：联想、长坡、BM COM 54 好光标移至要序的表 DEL (贵任编辑马士龙 44▣ 1994-2010 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
☆个案教学 不可能 发生 。 这时 , 只有当生产过 程异常时才发生 损失费用 。 平均 费用 , 元 , 元 元 元 有趣的是 , 在这里 , 不抽样 比抽样 的费用还要节 省 , 说 明若不认真计算 , 有时虽然选择 了抽样方案 , 但费用并不节省 。 因此 , 不一定抽样检验 总是 必需 的 。 四 、 抽取 个开关作为样本 , 已算出 作为 检验临界值的效果并不好 , 那么 , , 的效果如 何呢 按照 前面计算 和 归的方法并改变不 同的 值 , 我们得到 , 平均 费用 , 元 , 元 十 元 元 二 , 平均费用 , 元 , 元 元 元 , 平均 费用 , 元 , 元 十 元 元 我 们知道 , 在 样 本容量 固定的情况 下 , 要 小 , 就增大 反之亦然 。 因而取 大于 时 , 值将 变得很大 , 平均费用也将增加 在 时 , 就 是最优的 那么若 呢 我们从 判断 , 当 时 , ‘ 应是最优的 。 计算结果如下 , 平均 费用 , 元 , 元 元 元 , 平均 费用 , 元 , 元 元 元 , 平均费用 , 元 , 元 元 元 计算结果证实 了 一 中 , 时最优 。 这 时 的平均 每 日费用 元 比 二 , 的 元要 低 。 此时 , 尽管多抽 了两个开关 , 增加 了 元的抽样 变动费用 , 但 由于 和 日的降低还是 使平均 费用 有 所下降 。 那么 和 取什么值时平均费用最低呢 通过 计算机模拟 或高级 贝叶斯方法 , 发现 , 时 平均费用最低 。 对于 , 一 的 和 , 既 可以用 二项分布 也可以 用正 态近似计算 。 下面我们用正 态近似计算 , 并且对离散数据连续校正 。 对于 值 , 有 , 一 二 。 一 · “ 一 蒸燕 一 碎乒 一 ‘ ’ 。” , 对于 日值 , 相似的有 , 一 二 八 一 “ 蒸燕 一 褥薰一 ‘ 一 平 均费用 , 元 , 元 〔 元 元 〕、 元 这样 , 对于该企业最优的决策是每天抽取 个 开关 的随机样本 , 并选择 , 即有 个或 个 以 上开关不合格就停产检查 。 这样平均每天支 出的费 用约为 元 , 比起不抽样每天支出 元要节 省 元 。 一年中 , 若工 作 日为 天 , 可 以 节 省 元 , 元 。 责任编辑 马士龙 十 刊卜‘十一 卜一刁一冲一 州卜 州卜 峥 卜 」 一十 卜 十 州卜 十 卜 刁 一十 州卜 日卜 十 月 十 讨 一卜一卜一十 十 十 州卜 十 阅 卜 卜阅喇卜 州卜 州卜 叫卜 叫卜 卜 州卜 侧 卜 , 上接 第 页 下拉菜单 中选择 “ 公式 ”命令 , 在 “ 公 放 在作为排序依据 的列 上 其次从 “ 表 格 ”下拉菜单 式 ”框 中显示 “ 一 〔 〕 ” 。 回车确认 , 即 自 中选择 “ 排序 ”命令 , 在弹出的对话框 中选定 排序依 动在 “ 合计 ”行填入 “ ” 。 据 、 类型 、 递增或递减等 然后 回车确认 , 系统即 自动 第三步 , 计算各种产品销售额 比重 首先将光标 完成排序 。 在对话框 中列有三个 “ 排序依据 ”框和三 移至 行的最后一个单元格 , 从 “ 表格 ”下拉菜单 个 “ 类型 ”框 , 一般只使用一个 , 必要时可使用两个或 中选择 “ 公式 ”命令 , 在 “ 公式 ”框 中翰入 “ ” , 三个 。 单击 “ 排序依据 ”框 向下箭头打开下拉列表 , 其 在 “ 数 字 格 式 ” 列 表 中选 择 “ 。 ” 并 加 。 使 成 中列 有各栏标题 , 可供用户选作排序依据 , 单击 “ 类 “ ” , 然 后 回 车 确 认 , 即 在 该 单 元 格 中填 入 型 ”框向下箭头打开下拉列表 , 其 中包括笔划 、 拼音 、 “ ” 。 以下五种产品均照此计算 。 数字 、 日期四项 , 也可 自由选择 。 “ 类型 ”框后并列递 四 数据排序 增 、 递减两个按钮 , 可任选其一 。 上举表 按销售额 不仅能进行 以上计算 , 而 且 能对表上 数 比 重 排 序 为 联 想 、 长 城 、 、 、 、 据进行排序 首先将光标移至 要排序的表上 , 最好是 。 责任编辑 马士龙