☆个案教学 趣味统计素例（五） ●中国人民大学副校长袁卫 股票同报额的均值 五、怎样选择最好的投资组合？ 4=(-0.10元)(0.10)+(0)(0.20)+(0.10 元)(0.40)+(0.20元)0.30) ■0.09（元） 假定我们手头右10,000元人民而准备进行投 其他几个计算结果如下： 资。这时有两种投资工具可供选择，一种是殿票另 4=0.09(元)a,=0.0943(元)c=0.00890 种是短期债券，我们知道，股票的风险较大面债券 =0.08(元)1=0.0126（元）= 的风验较小，当然，其投资的预期收益是与风险（即 0.00016 幅表)大小一朝是成正比的。相据过去的经验，我们 对于协方差的计算，我们使用计算公式 可以得到如下的股票S(S1ock)和短期馈券T(Tre ) urvB)年回报率的一推经率联合分布 按这个公式对表1各数据进行计算得到表2： 表1股票S和债券T年回报率的二维概率联合分布 表2协方差计算表用(S-4)(T-)P(S,T)计算 T -10% 0 10% 20% p(t) -0.10 0 0.10 0.20 -0.00002-0.00022 。 10 109 0.100.10 0.20 0038-0.00018 p)0.100.290.400.301.00 表2中各值之和即协方 第一，我们来看股票和债券的协方差，若不经计 .0008G 算，是否可以通过表1判断出协方差是正，是负还是 零呢？在二维概率联合分布中，若两个变量的变化方 现在我们拉用手中的10,000元投资怎料 句是相同的，即 个变量增加导致另 变量也增如 进行股票与债券的投资组合呢？我们可以用10， ~变量降低同时也导致另 变量降低，则这两 全买股票，可以全买债券，也可以各买 变量的协方差趋于正，否则趋于负。我们看到在表1 ~种投资组合最好，取决于该种投资组合要有较 中，当股票的回授率较高时(10%和20%），券白 高的回报额（均值）和较低的风 (标准差)，几种不 回报率较低(6%和8%)：而当骰票的回报率为负 同投资组合的均值和标准差计算如下 时，债券的回报率最高(10%)，所以我们可以判断出 1,如果全买股票，则预期回报额和标准差分别 股票和债券的协方差可能是负的。现在我们用计算 直来加以证实.若我们以1元人民币作为计算单位 -10,000×0.09(元)=900元 则股票的回报率从一0,10元到+0.20元，债券的 a=10,000×0.0943(元)=943元 报率从0.06元到0.10元。现在我们可以分别计算 2.如果全买债券，则预期回报额和标准差分别 設票和债券的均值、标准差和方差： 为 43 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved hup:/ww.cnki.net
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net ☆个案教学 袭醚味 统 计 素 例 五 中 国人 民大 学副 校 长 哀 卫 五 、 怎样选择最好的投资组合 假定我 们手头有 , 。 元 人 民 币准 备进行 投 资 。 这时有两种投资工具可供选择 , 一种是股票 , 另 一种是短期债券 。 我们知道 , 股票的风 险较大而债券 的风 险较小 。 当然 , 其投资的预期收益是与风 险 即 概率 大小一般是成正 比的 。 根据过 去的经验 , 我们 可以得到 如 下 的股票 和 短 期债券 年回报率的二维概率联合分布 表 股票 和债券 年回 报率的二维概率联合分布 股票 回报额的均值 片 一 元 · 元 元 元 其他几个计算结果如下 阵 · 元 。, · 元 子 脚 一 · 元 , 元 游 对于 协方差 的计算 , 我们使用计算公式 一 拌 二 一 拌 , 按这个公式对表 各数据进行计算得到表 表 协方差计算表用 一 巧 一 拜 , 计算 一 一 一 一 一 一 第一 , 我 们来看股票和债券的协方差 。 若不经计 算 , 是否 可 以 通过表 判断 出协方差是正 、 是 负还是 零呢 在二维概率联合分布 中 , 若两个变量的变化方 向是相同的 , 即一个 变量增加导致 另一变量也增加 , 一个变量降低 同时也导致 另一变量 降低 , 则这 两个 变量 的协方差 趋 于正 , 否 则趋于 负 。 我们看到 在表 中 , 当 股 票 的 回报 率 较 高 时 和 , 债券 的 回 报 率 较 低 和 而 当 股 票 的 回 报 率 为 负 时 , 债券的回报率最高 。 所 以我们可以判断出 股票和债券的协方差 可能是 负的 。 现在我们用计算 值来加 以证实 。 若我 们以 元人 民 币作为计算单位 , 则股票的回报率从一 元到 元 , 债券的 回 报率从 。 元到 元 。 现在我们可 以分别计算 股票和债券的均值 、 标准差和 方差 表 中各值之和即协方差 和 。 一 这个 负的协方差 与我们判断的是一致 的 。 第二 , 现在我们拟 用手 中的 。 , 元投资怎样 进行股票与债券的投资组合呢 我们可以 用 , 。 元全买 股票 , 可 以 全 买 债券 , 也 可 以 各 买 一 半等等 。 哪一种投 资组 合最好 , 取决于 该种投 资组 合要 有较 高的 回报额 均值 和 较低 的风 险 标准差 。 几种 不 同投资组合的均值和 标准差计算如下 如果全买 股票 , 则预期 回报额和标准差分别 为 拌 , 元 一 元 , 元 元 如果全 买 债券 , 则预期 回报额和 标准差分别 为
女个案教学 μ=10,000×0.08（元）=800元 因而过论起来就复杂一些.我们由表3现底到，股票 10.000×0.0126(元)-=126元 跑工出解由100以路到50以.标准若由043量降 3.如果股票和债券各买5000元，则预期回报 到432元，降低幅度达511元，约为943元-126元 额和标准老分别为 =817元的三分之二.直观地解释是S与T的负的 -E(500S+500T)-500E(S)+5,00E 协方差反映出S和T运动方向相反，有些投资组合 抵销了一部分风险，就有可能得到比表3中给出的 ,000(0.09元)+5,000(0.08元) 风险更小的标准差。让我们试一试10/90比例的标 =850(元) 生教 Va()-5000Vr(s) vg.t1000s+g.000T3=1.0002Var(S)+ 9,000Var(T)+21,000)(9,000)Cov(S,T) 0.000 186,000 8,900+12,960-14.400=7,460 g=√186,000=432（元） =86.37(元 4.如果用2,000元买股票，8,000元买偾券，则 预期回报额和标准差分别为： 标准差126元还要小 4=E(2,000S+8,000T)=820(元) 那么什么比例下的标准差最小呢？W Var(2,0005+8,000T)■35,600+10,240- 25,600=20,240 在1931年给出了计小合标老的比例公 g=/20,240=142(元) 这4种投资组合的质期回报额及标准差归纳如 下表， 现将前面已经得到的数值代入上式，则有爱 表3不同投资组合的预期回报额及标准整 股票/徽券比例预期回报额： 标准差口 100/0 900元 943元 其结果：品表示两种投资的百分比，加起来应 50/50 850元 432元 等于100，即 20/80 820元 142元 0/100 800元 126元 1x000 x=0.10(1-x) 我们看到，在计算出的4种投资组合中，股票的 1.10x=0.10 买比例越大，预期回报额趣高，但风险（标准差）也越 0.10/1.100.09 0.91 第三，作为投资者，我们希短得到这样一种投资 现将0.09/0.91比例代入方差计算公式，有 组合，即有最高的预期回报额和最低的风险。显然， Vard Var(S) Var 从表3的结果中我们找不到这样的投资组合，但由 于表3中我们只讨论了4种投资组合，而实际上股 遇和爆卷的不同比别排资组公可以右于园多种，至 /7,355=85.76(元 少按百分比购买也有101种。那么在其他的投资组 显然，这个85.76元比按10/90比例计算的 合中有投有更高的预期回报呢？有没有更低的风 86.37元更小。婴简单地选择预期回报额最高同时 呢2 风险又最小的投资组合是不可能的。那么如何进行 由干陌期回报额是一种线性关系，所右不同组 投资决策呢？这是一个很值得研究的向题。一般的作 合的预期回报额都在800元至900元之间。因而最 法是，根据不何投资者对风险的不同态度，计算出对 高的预期回报额就是全部购买股票。 货币收益的效用函数和曲线，在此基础上进行决策 风险大小（标准差）的计算由于不是线性关系 (责任编辑马士龙) 44 1994-2010 China Academic Journal Electronc Publishing House All rights reserved hup:/Awww.cnkinet
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net ☆个案教 学 拌 , · 元 元 口 , 元 元 如果 股票和 债 券各 买 元 , 则 预期 回报 额和标准差分别为 拌 , , 元 , 元 元 , 汀 , , , , , 一 , , 口 了而东万而 元 如果用 , 元 买股票 , , 元买债券 , 则 预期 回报额和 标准差分别为 拜 , , 元 , , , , 一 , , 。 了乏砚而 元 这 种投资组合的预期 回报额及标准差 归纳如 下表 表 不 同投资组合的预期回报颊及标准差 因而讨论起来就复杂一些 。 我 们 由表 观察到 , 股票 购买 比例 由 降到 , 则 标准差 由 元 降 到 元 , 降低幅度达 元 , 约为 元 一 元 一 元的三分之二 。 直观地解释是 与 的负的 协方差反 映出 ’ 和 运动方 向相反 , 有些投资组合 抵销 了一部分风 险 , 就有可能得到 比表 中给出的 风 险更小的标准差 。 让我们试一试 。 比例 的标 准差 , , , , 十 , , , , , 一 , , 口 厂而而 元 这个 元的标准差确实 比全部购买债券的 标准差 元还要小 。 那么什么 比例下 的标准差 最 小呢 在 年给 出了计算最 小混 合 标准差 的 比例 的公 式 衅一 飞 , 。鑫一 。 , 股票 债券比例 预期 回报颊 ” 元 元 元 元 标准差 。 元 元 元 元 二 一 , ‘ , . 麟 一 氏 , 现将前 曲 已 经得 的 数值代人上式 , 则 有石二石重幸一 一 一 一 一 其结果湍 表示两种投资的百分 比 , 加起来应 我们看到 , 在计算出 的 种投 资组合中 , 股票购 买 比例越大 , 预期 回报额越高 , 但风 险 标准差 也越 大 。 第三 , 作为投资者 , 我们希望得到这样一种投资 组合 , 即有最高的预期 回报额和最低的风 险 。 显 然 , 从表 的结果 中我们找不到这样 的投资组合 。 但由 于表 中我 们只 讨论 了 种投 资组合 , 而 实际 上 股 票 和债券的不 同 比例 投资组合可 以有无 限多种 , 至 少按百分 比购买也有 种 。 那么在其他的投资组 合中有没有更高的预期 回报额呢 有没有更低的风 险呢 由于预期 回报额是 一种线性 关 系 , 所有不 同组 合 的预期 回报额都在 元至 元之 间 因而最 高的预期 回报额就是全部购买股票 。 风 险大 小 标准差 的计算 由于 不是线性关 系 , 等于 , 即 一 一 八 士 一 现 将 · 比 例 代入 方 差 计 算公 式 , 有 , , , , , 一 , 一 , 。 厂币丽 一 元 显 然 , 这 个 元 比 按 。 。 比 例 计 算 的 · 元更 小 。 要 简单地选择预期 回报额最高 同 时 风 险又 最小的投 资组合是不可能的 。 那么如何进行 投资决策呢 这是 一个很值得研究的间题 。 一般的作 法是 , 根据不同投资者对风 险的不同态度 , 计算 出对 货币收益的效用函数和 曲线 , 在此基础上进行决策 。 责任编辑 马士龙