两种模型在滚齿机传动误差中预报精度的比较

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1989.03.022 第11卷第8期 北京科技大学学报 Vol,11 No.3 1989年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 1989 两种模型在滚齿机传动误差中 预报精度的比较 张小莹陈松 陈继武 (北京科技大学) (北京农业工程大学) 摘要：通过计算机模拟误差补偿，从计算预报误差的时间和精度上对两种模型作了 比较。指出该齿机屁成链传动误差预报模型应该是时变参数模型，并提出了提高时变参数模 型的预报速度，以便实现误差补偿与控制的措施，得到的结纶对传动误差的补偿与控制有实 际意义。 关键词：时变参数模型，时不变参数模型，展成链，传动误差，预报精度，误差补偻 A Comparison of Forecast Precision of Two Parameter Model in Hobbing Machine Transmission Errors Forecast Zhang Xiaoying Chen Song Chen Jiwu ABSTRACT:On a computer simulating compensation of the transmission error,the time and precision of the calculating forecast error of the time- invarying parameter model is compared with the those of the time-varying 4 parameter model.It is indicated that the transmission error forecast model must be time-varying parameter model.Some methods are proposed in order to heighten forecast speed of the time-varying parameter model and realize the error compensation and control.The results are significalive of actuality to compensation and control of the transmission error. KEY WORDS:time-varying parameter model,time-invarying parameter model,index chain,transmission error,forecast precision, error compensation ·本文是国家自然科学基金资助项目“滚齿机展成传动链短周期误差的预报和补偿”的一部份。 1988-04一22收稿 231

第 卷第 期 。 气 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 五 ， 两种模型在滚齿机传动误差 中 预报精度的比较 张小莹 陈 松 陈继武 ‘ 北京科技大学 北京农 业 工 程大学 摘 要 通 过计算机模拟误差补偿 ，从 计算预报误差的时间和精度上对 两种模型作了 比较 。 指 出滚齿机展 成链传 动误差 预报模 型应 该 是时变参 数模型 ， 并提 出 了提高时变参 数模 塑的预报速度 ， 以便实现误差 补偿 与控制的措施 ，得到的结纶对 传动 误 差 的补偿 与控制有 实 际意义 。 关键词 时 变参 数 模 型 ， 时 不 变参 数模型 ，展成链 ，传动 误 差 ， 预 报精 度 误差 补偿 气 九 ” 夕 粗 切 赵 ， 一 一 一 。 一 ， ， ， 一 ， ， 本文 是 国家 自然科学 基金资助 项 目 “ 滚齿机展成传动链短周期误差的预 报和 补偿” 的 一 部份 。 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．03．022

按照IS0-TC39/SC2-579滚齿机精度验收标准考核国产谁齿机的短周期误差，其合格 率很低【1门。提高滚齿机传动链的传动精度，对于提高滚齿加工质量和国产渡齿机在国际市 场上的竞争力，都有着十分重要的意义。 近年来，人们开始探讨利用时序模型的预报特性，用时序模型对传动误差预报，进而实 现误差的补偿和控制，以减小传动误差，用这种方法已取得了较好的效果‘)。但是，对于 滨齿机传动误差的预报补偿和控制的研究工作还开展得很少。用误差预报补偿和控制的方法 提高谁齿机的传动精度，其效果主要取决于：(1)误差的预报值是否与真值充分接近，即模 型的预报精度。如果预报精度很差，必定导致补偿效果差。(2)补偿的速度是否能跟上。如 果补偿的速度跟不上，即使预报值很精确，也不能达到消除误差的目的。因此，选择预报模 型时要兼顾这两方面的问题。 1时序模型的一般形式 对于一维零均值的平稳随机序列{x,}，一般可以用1个随机差分方程来拟合： x,-1×,-1-中2×，-2-…-nx,-n=a,-01a-1-020,-2-…0na-m (1) 式中：a,~NIB(0,0.2),是零均值正态独立白噪声，x,-:(=0,1,2,…n)为一维零均 值的平稳随机时间序列，中(i=1,2,…n)称为自回归系数，0，（行=1,2，…m)称为滑动 平均参数，”，m分别称为自回归部分和滑动平均部分的阶段。这种模型称为自回归滑动平均 模型，简称ARMA(n,m)模型31。当9，=0(j=1,2,…m)时，ARMA(n,m)就变成 AR(n)模型。ARMA(n,m)模型的参数估计大多采用各种非线性最小二乘法，其参数估计 十分复杂，计算工作显大，不便于实现在线预报和控制，而一个低阶ARMA(n,m)模型总可 以用一个近当高阶的AR(p)模型来代替，因此，在线的建模预报和控制，均采用AR模型。 n阶AR预报模型一步预报的形式为： x（1)=1x,+中2x,-1+…+中，x-+1 (2) 式中参数中，(=l,2,…n)的求取可用线性最小二乘法，Burg算法和Marple算法t1等多 种方法，用不同的算法求得的中，值是不同的，预报模型的精度也不同，通过对各种AR建模 算法的比较，普遍认为Marple算法是一种较好的AR建模法，因此，本文所讨论的时不变参 数预报模型是用Marple算法建模的。 2 Marple算法原理简述 对于一个平稳随机过程，序列钓正排和反排具有相同的统计特性，利用正、反向排列数 据，提高了数据信息的利用率。用AR模型滤波器的向前和向后一步预报误差平方和来表示 模型的预报误差总能量，考虑到AR模型中各个系数对预报误差总能量的影响，用最小二乘 原理，当预报误差总能址达到最小值时，求出模型的系数中，(=1,2，…，n)。 AR(n)模型的随机差分方程为： ×,=中。1x,-+,2x:-2+…+中n,nx,-n+0, (3) 232

按 照 一 一 滚 齿 机 精度验收 标 准 考核 国产滚 齿机 的短周期误 差 ， 其合格 率 很低 〔 ” 。 提 高滚齿 机 传动 链 的传动 精 度 ， 对于 提 高 滚齿 加工 质 鼠和 国 产 滚 齿 机 在 国际 市 场上 的竞争力 ， 都有 着 十分重 要 的意义 。 近年来 ， 人 们开 始探 讨 利 用时序模型 的预报特性 ， 用 时序模型对传动 误 差预 报 ， 进而实 现 误差 的补偿和 控制 ， 以 减 小传 动 误差 ， 用这种方 法 已取 得 了较 好的 效 果 〔 ’ 。 但是 ， 对 于 浪 齿机 传动 误 基 的预报补偿 和控制 的研究工作还开 展得很 少 。 用误差预报补 偿 和控制 的 方法 提 高浪齿机 的传动精度 ， 其效 果主 要取 决于 误 差的预 报值是 否与真值充分 接近 ， 即模 型 的预 报精度 。 如 果 预 报 精度很 差 ， 必定 导致补偿 效 果差 。 补偿 的速度是 否能 跟上 。 如 果补偿 的速 度跟 不 上 ， 即使 预报 值很精确 ， 也不能 达 到 消除 误 差 的 目的 。 因此 ， 选 择 预报模 型 时 要兼顾 这 两 方面 的问题 。 时序模型的 一 般形式 对于一维零均值的平稳随机 序 列 ， ， 一般可以 用 个随机 差 分方程来拟 合 二 ， 一 诱 ，一 一 功 ， 一 … 一 人 ，一 。 二 一 ， ，一 一 。 ，一 一 “ · 乡 ，一 式中 ， 一 ， ， ’ ， 是 零均值正态独立 白 噪 声 ， ，一 ， ， ， … 为一维零均 值的平稳随机 时间序列 ， 功 ‘ ’ ， ， ” · ” 称 为 自回 归系数 ， ， ’ 二 ， ， … 洲 称 为滑动 平均参数 ， 、 。 分别称为 自回 归部分和滑 动平均部分 的阶段 。 这 种 模 型称 为 自回 归滑动 平均 模型 ， 简称 ， ， 。 模型 〔 ’ 。 当 ， ， ， … ， 时 ， ， ， ， 就 变成 ， 模型 。 。 ， 阴 模型 的参数 估计大 多采 用各种 非线性最 小二 乘 法 ， 其 参 数估 计 十分 复杂 ， 计算工 作 量大 ， 不 便于 实现 在 线 预报和控 制 ， 而一 个低 阶 ， ， 模 型总 可 以 用一 个适 当高阶 的 模型来代替 ， 因 此 ， 在线 的建模预报和控制 ， 均采用 模型 。 ” 阶 预 报模 型一步 预报的形式 为 二 ， 价 ， 功 ， 一 ， … 必 ， 一 。 十 ， 式中参数 价 ‘ ’ 二 ， ， “ ‘ 。 的求 取 可用线 性最小二 乘法 ， 算法 和 算 法 〔 ‘ ’ 等多 种 方法 ， 用 不 同 的算法 求 得 的 必 ‘ 值是 不 同的 ， 预 报模型 的精度也 不 同 ， 通过 对各 种 建模 算法 的比较 ， 普遍认 为 算法是一 种较 好的 建模法 ， 因此 ， 本文 所讨论 的时不变参 数 预 报模型 是 用 印 算 法 建模 的 。 算法原理简述 对于一个平稳随机过 程 ， 序 列 为正排和 反排具 有相 同 的统 计 特性 ， 利 用正 、 反 向排列数 据 ， 提 高了数据 信息 的 利用 率 。 用 模型滤波 器 的向 前和 向后 一步预报 误差平 方和 来表示 模 型 的预报 误差总能 量 ， 考虑到 模 型中各个系数 对 预 报误差 总能 量的 影响 ， 用最 小二 乘 原 理 ， 当预 报 误差总能 咕达 到最 小 值时 ， 求 出模型 的 系数 诱 ， ， ， ’ 二 ， ， … ， 。 川 模型 的随机 差分 方程 为 ， 必 。 ， ，二 ，一 、 功 。 ， ， 一 … 价 。 ， 。 ‘ 一 。

定义向前一步顶报误差： f。,8=- 公，x: (1kN-n,g.,0=-1) (4) j=0 定义向后一步预报误差： b,a=-中n,x4+, (1kN-i,,0=-1) (5) 1g0 预报误差总能量为： c.=(+62)=...(i,) () 1 i-0 1-0 式中： N rn(i,j)=∑(x4t。-,x+n-:+x+,x+i) (0-、i,j.n) (7) h=1 当预报误差的总能量。达最小值时，模型的预报精度最高，此时模型最逼近真实系统， 为此，令： e。=22(i,》=0 00a,i (i=1,2,…,n) (8) 40 把(8)式代入(6)式，得最小预报误差总能量e.为： c,=中.，r(0,j) (9) j0 把(8)、(9)式合写成一个(n+1)×(n+1)的矩阵表达式： R.Φ。=E。 (10) 其中：①。=〔-1，，1，…，，n,E。=〔en,0,…,0] r,(0,0)r.(0,1)…r.(0,n) R。= r.(1,0)r.(1,1)…r.(1,n) r.(n,0)r.(t,1)…r.(n,n) 由矩阵方程式(10)可直接求得中。=R,E.,但这样求解的计算量相当大。Marple算 法的特点之一是避开矩阵求逆，采用递推算法给出中，的精确解。通过对R。矩阵的结构分 4 析，有等式r.(i,j)=r.(j,)赫米特(Hermitian)对称性及r,(i,i)=rn(n-i,n-j)赫米特 广义对称性，可把P。矩阵分解为： R.=TIT.+(TY)T(TY) (11) 式中T表示矩阵转置，T。、T,”均为Toeplitz矩阵，即： …×1 X2 X+1 T,=ix。+2×.+1… T"=2 X3 ×-。xx-+】 利用R.的赫米特对称和广义对称性，把R.分解成2个Toeplitz矩阵乘积之和，通过 引人一些中间变量和数学推导，最终可递推地求出自回归系数中。，：(=1,2，…，n)。 233

定 义向 前一 步预报误 差 二 ， 一 万 功 。 ， ‘ 、 。 一 、 之 一 之 一 。 ， 功 。 ， 。 二 一 定 义向 后一 步预 报 误 差 。 ， 二 必 。 ， ‘ 、 ， 窗 一 秃泛 一 ， 必 。 ， 。 一 预 报 误差总能 量为 。 兄 矛 衅 ， 。 几 艺 功 ， ， 、 功 。 ， ， 。 ， ‘ 少 式中 万 一 ” 。 ， 。 。 一 工 十 。 一 ， 。 十 ， 当预 报误 差 的总能 量 。 。 达最 小 值时 ， 模 型 的预 报 精度最 高 ， 此 时 模 型最 逼 近 真实系统 ， 为此 ， 令 夕 。 功 。 ， ‘ 把 式 代人 式 ， 艺 功 。 ， ， ， ， 一 ’ 二 ， ’‘ 吕 得最 小预报误 差总能 量 。 。 为 ， 乙 必 。 ， ， 。 ， 把 、 式 合写 成一 个 。 。 的矩 阵表 达式 其 中 小 。 〔 一 ， 祝 ， 。 少 。 ， 。 〔 ， ， ， 、夕 · ， 功 。 ， ， 〕 。 ， 二 ， ， ， 。 ， 。 ， ， ， ， 抢 ， 。 ， … ， 拄 ， 才 一 由矩 阵方程式 可直接 求得 少 ‘ 二 ， 但 这 样 求解 的计 算量相 当大 。 算 法 的特 点之 一是 避开矩 阵求 逆 ， 采 用递 推 算法 给 出 必 。 ， 、 的精确解 。 通过 对 。 矩阵的结 构分 析 ， 有 等式 。 ， 。 ， 赫 米特 对 称性 及 ， ‘ ， 。 。 一 ， 一 赫米 特 广义 对称性 ， 可把 。 矩 阵分解为 ， 万 ， 犷 式中 表示矩 阵转 置 ， ， 、 ， 犷 均 为 矩阵 ， 即 戈 。 ， … 劣 。 二 气 从 ’ “ 气 火劣 刃 一 … 一 。 利 用 。 的赫米 特对称 和广 义对称性 ， ， 犷 厂 ， 一 十 劣 一 、 一 。 义 刃 一 十 … 万 义劣…︸ 把 ， 分解 成 个 矩 阵 乘 积之 和 ， 通过 引人 一 些 中间变量 和数学 推导 ， 最终可递 推地 求 出 自回归 系 数 功 。 ， ‘ ’ 二 ， ， 二 ， 。

了传动链误差源的诊断 建立传动链误差信号的适用时序模型，求出误差信号中各组成频率成份及对应的能量百 分比，进而诊断出主要的误差源，为后面确定预报模型的阶数提供参考。 我们用GD-18惯性式回转不均匀度检查仪对实验室里一台Y38-【型滾齿机在切削状 态下测试其传动误差，谁刀轴实测转速为102r/min,谁切齿数为52齿，模数为3mm。 Gear eutting hobbin 1.8 ks50: Tvn deteetor rccorder 用1Y38-1型该齿机分度传动链及误差测试示意图 Fig.1 Schematic diagram of a Y38-1 type hobbing machine index transmission chain and errors measurement 测取的传动链误差是连续信号，必须先对连续信号离散化处理，得到采样数据。在BM 微机上对采样数据建模，在建模中发现，用Marple算法中的定阶控制变量ToL1、ToL:值 在10~2~10-3之间，不能得到合适的模型阶数。因此，用信息理论(AIC)准则定阶。AIC 的计算式为： AIC=Ing:+2n/N (12) 式中：V—采样点数，n一模型阶数，o.一模型的方差。 AIC值达最小时，对应的阶数是模型的最佳阶数。由AIC准则定出误差数据适用模型为AR (64),求得的误差信号中的频率成份与传动链中实际轴频有着极好的吻合，证实了定阶和建 模是正确的，误差能量百分比的大小直观地反映了各误差源在总误差中所占的比例，如表1 所示。 表1误整源的诊断 Table 1 Diagnosis of the crror source 慎型阶数 =61, 朵样间篇△=0.0526s, 点数N=520 理i论轴顿，Hz 佔算轴频，Hz 误差能盛，% 误 的 源 1.7 1,700d 4.61 该小轴蜘 5.l 5.0996 23.75 17117、23/23两对椎齿轮轴州 5,492 5.4920 11.62 分度蜗杆：倍频 5.95 5.9484 22,69 28/24、差动机构轴频 2,746 2,7460 21.55 分度蜗杆轴貌 2.975 2.9827 2.57 分齿挂轮中创轴频 234

传动链误差源的诊断 建立 传动链误差 信 号 的适 用时 序模 型 ， 求 出误差信 号中各 组 成 频率 成 份及 对应的能 量百 分 比 ， 进 而 诊断 出主 要的 误差源 ， 为后面 确定预报模 型的阶 数提供 参考 。 我 们 用 一 惯性 式 回转不 均 匀度检 查仪 对 实验 室 里 一 台 一 型滚 断机 在 切削状 态 下 测 试 其传 动 误差 ， 滚 刀轴 实测转 速 为 ， 滚 切 齿数 为 齿 ， 模 数 为 。 丈 即 、 七 ‘ 】七 图 一 型滚齿机 分 度传 动 链及误 差洲 试 示愈 图 一 测取 的传动 链 误 差是 连续 信号 ， 必 须先对连续 信号离散 化 处理 ， 得到 采样数 据 。 在 微机 上 对采样数据建模 ， 在建模 中发现 ， 用 印 算法 中的定 阶控制 变 量 、 值 在 。 ’ 一 一 “ 之间 ， 不能得到合 适的 模型阶 数 。 因此 ， 用信 息 理 论 准 则定 阶 。 的 计 算 式 为 。 士 ， 式 中 －采样 点 数 ， － 模型 阶 数 ， 忍 － 模 型 的方 差 。 值达最 小 时 ， 对应 的阶 数是 模型 的最 佳阶 数 。 由 准 则 定 出误差 数据适用 模型 为 ， 求得 的误差信号 中的领率成份 与传动链 中实际 轴 频 有着极 好的吻 合 ， 证实 了定阶和 建 模是 正确的 ， 误差能 量百分 比的大 小 直 观地 反映 了各误 差源 在 ‘总误差 中所 占的比例 ， 如 表 所示 。 表 误 差 滚 的 诊 断 模 型 阶 数 二 ， 采 样 间 隔 △ 二 ， 点 数 二 理 沦轴 颊 ， 佑 算轴 频 ， 误左能 量 ， 弓 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 误 盖 源 滚 刀 轴 颊 一 、 两 对谁 齿轮 轴 倾 分 度 蜗 杆 几 杏 领 、 欢 动 机 构 轴 倾 分 度 蜗 杆 轴 倾 分 齿 挂 轮 中 间 轴 频

4传动链误差信号的时不变参数模型及 计算机模拟预报的精度 上面求得的AR(64)模型用作误差源诊断分析是适用的，但用于在线顶报补偿和控制是 不合适的，因为AR(64)模型的参数多，计算一步预报值所需时间长。在传动误差的在线补 偿和控制中，对模型的要求是既要预报精度高又要所花的预报时间短，为了同时兼顾预报精 度和时间，我们把高阶AR模型适当地简化为低阶AR模型，用低阶AR模型作为预报模型， 这就是模型的简化问题。简化的原则是：简化前后两模型中反映的主要频率值接近相等。我 们提出一种较为迅速而有效的方法，使简化后的模型阶数保证主要频率值在模型中得到反 映。 800 在工作中发现，AIC值与模型的阶数不成 线性变化，又从AIC定阶准则知道，AIC值小 600 对应该阶模型的预报误差小，据此，利用AIC 是 400 值和阶数n画出的曲线图，在阶数较低的区 域，把AIC值由迅速下降到缓慢下降的转折点 200 对应的阶，选作简化模型的阶数，再建模求出 频率值检验是否满足要求。如图2所示，4阶 2468101213 模型的AIC值比3阶模型的有显著下降，但4 Order 阶模型中至多只能出现2个频率值，而表1中 图2AIC与模型阶数的关系曲线 Fig.2 Relation curve of AIC and model 有4个误差能量超过10%的频率成份，如果选 order 4阶模型，就不可能把4个主要误差源在模型中得到反映。从4阶到8阶模型的AIC值下降 缓慢，说明即使取8阶模型也不比取4阶莫型好多少，9阶模型的AIC值比8阶模型的有显 著下降，而9阶模型中能出现4个频值，不妨把模型简化为AR(9),求得9阶预报模型： x,(1)=-0.5135x,-0.5489x-1-0.2971x-2-0.8636x1-3-0.7032×:-4 -0.0961￥：-后-0.4048x1-0-0.3979x-7-0.6207x:-8 (13) 进而求得5.0793,5.8751,2.7562三个主要频率值，5.0793和2.7562与表1中的5.1和 2.746较接近，因为阶数较低，5,492和5,95二个频率就不易区别，在AR(9)模型中以5.8751 出现，由此可见，AR(9)确实可作为预报模型。 用(13)式，在IBM-PC机上对传动链误差进行预报，假设在t时刻的传动链实测误差值 为×，，对它的预报值为x:,则实测值与预报值之差x,一x,值的大小，一方面反映模型预报 精度的高低，另一方面，如果我们能及时把预报值x,全部补偿给传动链，那么，￥：一x,又 可看作是经补偿后的传动链传动误差，x,和x,一x,值的大小反映了原传动误差和经补偿后 的传动误差。图3中的(1)和(3)是用×，和x,一￥：画成的误差曲线，比较误差曲线(1)和 (3),可知用(13)式模型预报补偿后，传动误差有较明显地减小，但误差值仍然较大。 用(13)式的AR(9)模型预报补偿后的传动误差较大，是由于在预报过程中，模型的参数 是不随时间变化，而传动链系统应看作是个时变系统，因为实际切削工作状态和条件的改 变，都会引起模型参数甚至阶数的改变，时变系统应该用时变参数模型来描述。此外，我们 235

传动链误差信号的时不变参数模型及 计算机模拟预报 的 精度 上面 求 得的 模型 用作误差源 诊 断分 析是 适 用 的 ， 但用 于 在线 预 报补偿和控 制 是 不 合适的 ， 因为 模型的 参数多 ， 计 算一步 预报值所需 时 间长 。 在传动 误差 的在线 补 偿和控制 中 ， 对模 型的要求是既要预报精度 高又要所花 的预 报 时 间短 ， 为 了同时兼顾 预报精 度和 时间 ， 我们把 高阶 模型适 当地 简化 为低阶 模型 ， 用低 阶 模型 作为预 报模型 ， 这就是模型 的简化 问题 。 简化 的原 则是 简化 前后 两 模型中 反映 的主 要频 率值接近相 等 。 我 们提 出一 种较为迅速 而有效的方法 ， 使 简化 后 的模型 阶数 保 证 主 要频 率值在模型 中得到 反 勺山口﹄ 目“”“ ﹁︸︹ ︸内 工︸ 映 。 在 工 作 中发现 ， 值与 模型的 阶数不 成 线性 变化 ， 又从 定 阶准 则知 道 ， 值小 对应该阶模 型 的预报 误差小 ， 据此 ， 利 用 值和 阶数 画 出 的 曲 线 图 ， 在 阶数较 低 的 区 域 ， 把 工 值 由迅速 下降到 缓慢下降的转 折 点 对应 的阶 ， 选 作简化 模型 的阶 数 ， 再建模求 出 频 率值检验是 否满足 要求 。 如 图 所示 ， 阶 模 型 的 工 值 比 阶 模 型 的有 显著下降 ， 但 阶 模型 中至 多只能 出现 个频率值 ， 而表 中 有 个 误差能 量超过 的频 率成份 ， 如 果选 入 ‘ － 丫 目 少 王乳尹 图 与模 型阶 数 的 关系 曲线 卜 阶 模型 ， 就 不可能 把 个主 要误差源 在模型 中得到 反映 。 从 阶到 阶 模 型的 值下降 缓慢 ， 说 明 即使取 阶模型也 不 比取 阶 懊型好多少 ， 阶 模型 的 值比 阶 模型 的有显 著下 降 ， 而 阶模型 中能 出现 个 频值 ， 不妨把 模型 简化 为 ， 求 得 阶预 报模型 一 。 ， 一 。 ，一 一 ， 一 一 ， ，一 一 。 ， 一 一 ， 一 。 一 。 ‘ 一 。 一 。 ，一 一 。 一 进 而 求 得 ， ， 三 个 主 要频 率值 ， 和 与 表 中的 。 和 。 较接近 ， 因为阶 数较低 ， 和 ， 二 个 频率就 不 易 区别 ， 在 模型 中以 出现 ， 由此可 见 ， 确 实可 作 为预 报模型 。 用 式 ， 在 一 机上对传动 链误差进 行预 报 ， 假设 在 时 刻 的传 动链 实测误差值 为 二 ， ， 对它的 预 报值为二 ， ， 则 实测 值与 预 报值之 差 ， 一 二 ‘ 值的大小 ， 一方面反映 模型 预报 精度的 高低 ， 另一方面 ， 如 果 我们能及 时 把预报值 ， 全 部补 偿给传动 链 ， 那 么 ， 二 ， 一 ， 又 可 看作是经补偿后 的传 动 链传 动 误 差 ， 和 ， 一 ， 值的大 小 反映 了原传动 误差和 经补偿 后 的传动 误差 。 图 中的 和 是 用 ， 和 ， 一 ， 画 成 的 误 差 曲 线 ， 比较误差曲线 和 ， 可知 用 式模型预 报补偿后 ， 传 动误差有较明 显地减小 ， 但误差值仍然较大 。 用 式的 模型 预 报补 偿后 的传动误 差较 大 ， 是 由于 在预报过程 中 ， 模型 的参数 是 不随 时间变化 ， 而传 动链 系统 应看作 是 个时变 系统 ， 因为 实际 切 削工 作 状 态 和 条件 的 改 变 ， 都 会引 起 模型参 数 甚至 阶 数 的改 变 ， 时变系统 应 该用 时 变参数模型来描述 。 此 外 ， 我 们

把64阶模型简化为9阶模型，9阶模型对传动链系统的描述是不够精确的，其预报精度不可 能很高。 5时变参数摸型在传动链传动误差预报中的预报精度问題 任渡齿机传动链误差的预报补偿与控制过程中，传动误差能够连续不断地被测量得到， 我们希望利用新提供的测量数据及时修正模型的参数估计值，提高参数的跟踪力。时变参数 模型可用实时最小二乘法求出〔5)。实时最小二乘法原理是：由于系统的最新观测数据与老 的观测数据对未知参数值提供的信总量是不同的，最新数据比老数据对未知参数的影响要 大，考虑到这一点，就在误差函数中加入一个指数的权项，以此强调较新数据的作用。 取误差函数为： Jm=∑入m-‘a2, (0<1<1) (14) 式中：a,一模型的残差 入一一加权因子。 通过矩阵的推导运算，可得到实时最小二乘法的3个递推算式： 中(m+1)=中(m)+y(m+1)P(m)X(m+1)CY(m+1)-XT(m+1)中(m) (15) P(m+1)=(1/入)CP(m)-y(m+1)P(m)X(m+1)XT(m+1)P(m)〕 (16) Y(m+1)=1/〔λ+X'(m+1)P(m)X(m+1)] (17) 式中：P(m)=(1/入)(XIX.)- x。-1 X.= w+1x。 ￥1 Xm-1 Xm-2 Y(m+1)=x。,i X7(m+1)=〔×m,x。1,…,xm-n,1门 中(m+1)=〔中1，中2，…，中.J.1中(m)=〔中1，中2，…，中n 加权因子入取值越小，对最新数据加权越重，模型参数的跟踪能力就越强。一般来讲， 预报模型的阶数比传动链系统的真实阶数要低得多，只有用取较小的入值，提高参数的跟 踪能力，才能弥补因阶数过低引起预报精度较差的不足。 取入=0.65，用9阶时变参数模型对传动误差的预报和模拟补偿后的误差曲线如图3中 的(4)所示，仅仅是原有传动误差的1%左右，图3中的(2)是入=0.55，用5阶时变参数模型 对传动误差的预报和模拟补偿后的误差曲线，仅仅是原有传动误差的10%右左，说明时变参 数模型对传动误差的预报精度比时不变参数模型的要高得多。预报时问，9阶时不变参数模 型1算一步预报所需时间为0.0026s,5阶和9阶时变参数模型的所需时i间分别为0.055s和 0.080s。 236

把“ 阶 模型简化 为 阶模 型 ， 阶摸型对传动链 系统 的描 述 是不 够 精确的 ， 其预报精 度 不 可 能 很 高 。 时变参数模型在传动链传动误差预报中的 预报精度问短 在滚 齿机 传 动链 误差的 预报补偿与控制过 程 中 ， 传动 误差能够连续不 断地被 测 量 得到 ， 我 们希望利用新提供 的侧量 数据及时 修正模型的参 数 估 计值 ， 提 高参数的跟踪 力 。 时 变参数 模型 可 用实时最 小二 乘法 求 出 〔 ’ 。 实时最小二 乘法 原 理是 由 于 系统 的最 新观测数 据 与老 的观侧 数据对未 知 参数 值提供的 信息量是 不 同的 ， 最 新数据 比老 数据对 未 知 参 数的 影响 要 大 ， 考虑到这一 点 ， 就 在误差 函 数 中加入 一 个指数 的权 项 ， 以 此强 调 较新数据的作 用 。 取误差函数 为 名 只 附 一 ‘ 久 式中 。 ‘ －模型的残 差 ， 只一一加权 因 子 。 通过矩 阵的推导运 算 ， 可 得 到实时最小二 乘法 的 个递 推算式 中 中 沉 〔 一 『 阴 中 川 〕 。 大 〔 。 一 丫 了 。 。 〕 丫 以 沉 州 加 〕 式中 久 。 一 ‘ 义 一 义 ‘， 十 戈 市 一 劣 “ ， 一 ， 了 厂 … 爪 戈 丁 〔 ， 一 ， ， … ， 一 ， ， 中 十 〔价 ， 诱 ， … ， 必 〕 丁 ， 中 二 〔必 ， ， 必 ， … ， 必 ， 〕二 加权 因 子 久取值越 小 ， 对最 新数据 加权越重 ， 模 型参数 的跟 踪能 力就 越强 。 一 般 来 讲 ， 预 报 模型的 阶数 比传 动链 系统 的 真实阶数要低 得 多 ， 只 有 用取 较小 的 几值 ， 提 高 参 数 的跟 踪 能 力 ， 才能 弥补 因 阶数过低 引起预 报精度较 差的不 足 。 取 只 。 ， 用 阶 时 变参数模 型对传动 误差 的预 报 和 模拟 补偿后 的 误差 曲线 如 图 中 的 所示 ， 仅仅是 原有 传动误差的 左 右 ， 图 中的 是凡二 。 ， 用 阶 时 变参数 模型 对传 动误差的预报和 模拟补偿后的 误差 曲线 ， 仅仅是原 有传 动 误差的 右左 ， 说 明时 变参 数 模 型对传 动 误差的 预报精度 比时不 变参数 模型的 要 高得多 。 预报 时间 ， 阶 时 不变参 数 模 型 计算一 步预报所需时 间为 。 。 。 。 ， 阶和 阶 时 变参 数 模型 的 所需 时’ 分别 为 。 。 和

0.6 (2) 0.5 〔1)原有的传动误差曲线 (2)用AR(5)时变模型预报和补偿后的误笼曲线 (3)用AR(9)时不变模型预报和朴偿后的误差曲线 (4)用AR(9)时变模型预报和补偿后的误差曲线 图3模拟补偿后的传动误差曲线比较 Fig.3 Comparison of error curve simulated compensation 6结束语 用时序参数模型对该齿机传动链的传动误差分析和预报，进而实现传动误差的补偿和控 制，是一种可取的提高传动精度的方法。实现在线预报补偿与控制时，首先要碰到选择预报 模型的问题，选择预报模型应当兼顿考虑预报精度和预报速度问题。通过计算机上建模、预 报和模拟补偿，讨论了时不变和时变参数模型在传动链传动误差预报中的预报精度和预报速 度问题，得到如下结论： (1)考虑到滾齿机实际工作状态和条件是会改变的，且顶报模型的阶数往往比系统真实 的阶数要低得多，所以，应把传动链系统看作时变系统。用时变参数模型对传动误差的预 报，其预报精度之高是时不变参数模型远远不及的。 (2)随着时变参数模型的阶数适当取低，加权因子元的取值也相应取小，这样可在不损 失模型预报精度的前提下，提高模型的预报速度。 在本文讨论的传动链传动误差预报和模拟补偿问题中，采样间隔△=0.0626s,用5阶 时变参数模型计算一步预报需要0.055s,这个时间差是有可能根据传动误差预报值实行误 差补偿和控制的，如果时间仍跟不上，可考虑再把5阶模型降为4阶或3阶；以二步预报 代替一步预报；必要时可适当加大采样间隔，略去高频成份，采用这些方法实现传动链传动 误差的预报补偿与控制，提高传动精度是完全可行的。 参考文献 1王国芳。机械制造，1983，(7)：21~24 2 Hong Zan Bin,Yamazaki K.,Devries M F.Journal of Engineering for Industry,1984;106:339~344 3 Pandit S M,Wu S M.Time Siries and System Analysis with Application, New York:John Wiley and sons,1983 4 Marple S L.IEEE ASSP-28 1980;(4):453 5熊光楞，李芳译。系统辨识。北京：清华大学出版社，1983 6张小莹.北京钢铁学院机械系硕土论文，1987.7 237

︶三。助切 ︶︵三哎毕﹄‘。丈 一 原 有 的传 动 误差 曲线 用 人 时 变模 型 预 报 和 补 偿后 的 误 差 曲线 用 时不变 模 型 预 报 和 补 设 后的 误 差 曲 线 用 时变模 型预 报 和 补偿后 的 误 差 曲线 图 模 拟 补偿后 的 传 动误差 曲线 比 较 结 束 语 用时 序 参数 模 型 对滚 齿 机 传 动 链的传动 误差分析和 预 报 ， 进而 实现传 动误 差的补 偿和注 制 ， 是 一 种 可取 的提高传 动 精度 的方 法 。 实现 在 线 预 报 补 偿与控制 时 ， 首 先要碰 到选择 预报 模 型 的问题 ， 选 择 预 报 模型 应 当兼顾考 虑预报 精 度和预 报速 度问题 。 通过 计算机 上建 模 、 预 报 和模拟 补偿 ， 讨 论 了时不 变和 时变参数 模型 在传 动链传 动误 差预 报 中的预报精度和 预报逮 度 问题 ， 得 到 如 下 结 论 考 虑到 浪 齿机 实际工 作状态和 条件是 会改 变 的 ， 且预报模 型 的 阶数 往往 比系统 真实 的 阶数要低 得 多 ， 所以 ， 应把 传动 链 系统 看作 时 变系统 。 用 时 变 参 数 模型 对 传 动误 差 的预 报 ， 其 预报 精度之 高是 时 不 变参数 模型 远远不 及 的 。 随 着时 变参 数模型 的阶数 适 当取低 ， 加 权 因子 之的取 值也相 应取小 ， 这 样可 在不 版 失 模型预 报 精度 的前 提下 ， 提 高模 型 的预 报速度 。 在本 文 讨论 的传 动链传 动误 差预报 和 模拟 补偿问题 中 ， 采样 间 隔 八 二 ， 用 阶 时 变参数模 型计 算一 步 预报需 要 ， 这 个时 间 差 是 有可能根据 传 动误 差预 报值 实行吴 差 补 偿和控 制 的 ， 如 果时间 仍跟不 上 ， 可 考 虑 再 把 阶 模型 降 为 阶或 阶 以 二步预报 代 替 一 步预 报 必 要 时可 适 当加大采样 间隔 ， 略 去 高频 成份 ， 采 用这 些 方法 实现传 动链传 功 误差 的预 报 补 偿与控 制 ， 提高传动 精度是完全可 行 的 。 参 考 文 献 国 芳 。 机械制造 ， 一 ， ， ， 刀 ， 夕 ， ， 手 ， ， 。 印 。 一 熊 光 楞 ， 李 芳 译 系统 辨识 。 北 京 清华大 学 出版 社 ， 张小 莹 北 京 钢铁学院机 械 系硕士 论文