问题集9的解 到期：星期一下午9点，4月25日 问题1有三枚硬币：一枚1美分硬币，一枚5美分硬币，一枚25美分硬币。当这些硬币翻 转的时候： ■1美分硬币出现正面的概率是1/3，出现背面的概率是2/3。 ■5每分出现正面的概率是3/4，出现背面的概率是1/4。 ■25每分出现正面的概率是3/5，出现背面的概率是2/5。 假设一枚硬币的落地不受其他硬币落地的影响。这个问题的目标是来判定奇数次硬币出现正 面的概率。对于这个首要的问题，我们将紧密按照在演讲中描述的四步求解概率问题的过程。 您的解应该包括一个树图。 (a)这个试验的样本空间是什么？ 解：我们能把每次结果当成一个显示1美分，5美分，25美分硬币方向的三元组。例如，三 元组(H,T,田是一个1美分为正面，5美分为反面，25美分为正面的三元组。样本空间就是 所有的这些三元组的集合：{HT}3 (b)正面的奇数硬币正面的事件是样本空间的什么子集？ 解：硬币出现正面的时间是子集： {(H,H,H),(H,TT).(T,H,T),(T,T,H)} (©)在样本空间每个结果的概率是什么？ 解：在树图中的边使用在问题陈述中给定的概率标签。每个结果的概率是沿着相应的根到叶 结点对应路径的概率的乘积。结果产生的概率在树图中标注。 3/5 H 十 9/60 3/4H 2/5 T 6/60 H H 1/4 3/5 3/60 T 1/3 2/5T 2/60 2/3 3/5 H 18/60 T 34H 2/5 T + 12/60 penny 1/4 3/5H 6/60 T nickel 2/5 T 4/60 quarter odd? prob PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www,fineprint.cn
问题集 9 的解 到期：星期一下午 9 点，4 月 25 日 问题 1 有三枚硬币：一枚 1 美分硬币，一枚 5 美分硬币，一枚 25 美分硬币。当这些硬币翻 转的时候： n 1 美分硬币出现正面的概率是 1/3，出现背面的概率是 2/3。 n 5 每分出现正面的概率是 3/4，出现背面的概率是 1/4。 n 25 每分出现正面的概率是 3/5，出现背面的概率是 2/5。 假设一枚硬币的落地不受其他硬币落地的影响。这个问题的目标是来判定奇数次硬币出现正 面的概率。对于这个首要的问题，我们将紧密按照在演讲中描述的四步求解概率问题的过程。 您的解应该包括一个树图。 (a) 这个试验的样本空间是什么？ 解：我们能把每次结果当成一个显示 1 美分，5 美分，25 美分硬币方向的三元组。例如，三 元组(H,T,H)是一个 1 美分为正面，5 美分为反面，25 美分为正面的三元组。样本空间就是 所有的这些三元组的集合：{H,T}3 . (b) 正面的奇数硬币正面的事件是样本空间的什么子集？ 解：硬币出现正面的时间是子集： {(H,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)} (c) 在样本空间每个结果的概率是什么？ 解：在树图中的边使用在问题陈述中给定的概率标签。每个结果的概率是沿着相应的根到叶 结点对应路径的概率的乘积。结果产生的概率在树图中标注。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
()硬币奇数出现正面的概率是多少？ 解：一个事件的概率是在那个事件中的结果的概率的和。在这种情况下： Pr(奇数次正面)= =Pr({(H,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)}) =Pr((H,H,H))+Pr((H,T,T))+Pr((T,H,T))+Pr((T,T,H)) 9.2,12.6 +60+60+60 十 60 29 60 问题2教授Plum,Green先生以及Scarlet小姐一起密谋要射杀Colonel Mustard.如果这三 个人中的一个有机会和左轮手枪，那么这个人第就射杀Colonel Mustard。.否则，Colonel Mustard就逃跑了。三个中的一个有如下概率机会： Pr(PIum有机会)=1/6 Pr(Green有机会)=2/6 Pr(Scarlet有机会)=3/6 恰好有一人拥有左轮手枪有如下概率，不考虑这个人是否有机会： Pr(Plum有左轮手枪)=4/8 Pr(Green有左轮手枪)=3/8 Pr(Scarlet有左轮手枪)=l/8 (a)为这个问题画一个树图。说明边和结果概率。 解： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(d) 硬币奇数出现正面的概率是多少？ 解：一个事件的概率是在那个事件中的结果的概率的和。在这种情况下： Pr(奇数次正面) ＝ 问题 2 教授 Plum, Green 先生以及 Scarlet 小姐一起密谋要射杀 Colonel Mustard. 如果这三 个人中的一个有机会和左轮手枪，那么这个人第就射杀 Colonel Mustard。否则，Colonel Mustard 就逃跑了。三个中的一个有如下概率机会： Pr(Plum 有机会) = 1/6 Pr(Green 有机会) = 2/6 Pr(Scarlet 有机会) = 3/6 恰好有一人拥有左轮手枪有如下概率，不考虑这个人是否有机会: Pr(Plum 有左轮手枪) = 4/8 Pr(Green 有左轮手枪) = 3/8 Pr(Scarlet 有左轮手枪) = 1/8 (a) 为这个问题画一个树图。说明边和结果概率。 解： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
4/8 P 4/48 G 3/48 3/8 P 1/8 S 1/48 1/6 4/8 8/48 G G 6/48 2/6 3/8 1/8 2/48 3/6 S S 4/8 P 12/48 G 9/48 opportunity 3/8 1/8 3/48 revolver prob. (b)Colonel Mustard被射杀的概率是什么？ 解：使用一个对表示每个结果，说明谁有机会且谁有左轮手枪。在这个笔记中，Colonel Mustard被枪杀的时间包括所有的结果，这里单独一个人有两个： {PP),(GG).(S,S)} 这个事件的概率是结果概率的和： Pr({(P,P),(G,G),(S,S)})=Pr((P,P))+Pr((G,G))+Pr((S,S)) =4/48+6/48+3/48 =13/48 (c)Colonel Mustard被射中的概率是什么，给出Scarlet小姐没有左轮手枪的概率？ 解：令S是Colonel Mustard被射杀的概率，令N是Scarlet小姐没有左轮手枪的概率。解是： PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
(b) Colonel Mustard 被射杀的概率是什么？ 解：使用一个对表示每个结果，说明谁有机会且谁有左轮手枪。在这个笔记中，Colonel Mustard 被枪杀的时间包括所有的结果，这里单独一个人有两个： {(P, P),(G, G),(S,S)} 这个事件的概率是结果概率的和： (c) Colonel Mustard 被射中的概率是什么，给出 Scarlet 小姐没有左轮手枪的概率？ 解：令 S 是 Colonel Mustard 被射杀的概率，令 N 是 Scarlet 小姐没有左轮手枪的概率。解是： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
Pr(SI N)= Pr(S∩N) Pr(N) Pr(P,P),(G,G)》 = Pr(P,P),(P,G),(G,P),(G,G),(S,P),(S,G) 泰+品 丽十+希+8+器十晨 5 21 (d)Green先生有一个机会，给出Colonel Mustard被射杀的概率？ 解：令G是Green先生有机会的时间，令S是Colonel Mustard被射杀的事件。那么解是： Pr(G∩S) Pr(GS)= Pr(S) Pr((G,G)) Pr((P,P),(G,G),(S,S)) 6 十十 6 13 问题3有3个犯人在一个为最大恶人准备的最大安全的监狱：恶魔巫师Voldemort,黑暗地 主Sauron,以及小兔子Foo-Foo。假释委员会声明它讲释放3个中的两个人，随机地非正式 地选择，但是还没有透露他们的名字。自然的，Sauron猜测他会被释放到他的在Mordor的 家中，哪里隐蔽处的所在，有概率23。 一个士兵企图告诉Sauron其他将被释放的犯人的名字（或者是Voldemort或者是 Foo-Foo)。然而，Sauron拒绝这个帮助。他推测如果士兵说，例如，“小兔子Foo-Foo将会 被释放”，那么他自己被释放的概率就降低到了1/2。这是因为他将然后知道或者他或者 Voldemort将被也释放，且这两个事件是大之上相等的。 使用树图和四步方法，或者证明黑暗抵住Sauron推理正确或者证明他是错误的。假设 如果士兵有一个提名或者Voldemort或者Foo-Foo(因为他们都将被释放)的选择，那么他 随机非正式命名两个中的1个。 解：Sauron被错误推断。为了理解他的错误，让我们开始通过算出样本空间，注明感兴趣 的事件和计算概率结果： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
(d) Green 先生有一个机会，给出 Colonel Mustard 被射杀的概率？ 解：令 G 是 Green 先生有机会的时间，令 S 是 Colonel Mustard 被射杀的事件。那么解是： 问题 3 有 3 个犯人在一个为最大恶人准备的最大安全的监狱：恶魔巫师 Voldemort, 黑暗地 主 Sauron，以及小兔子 Foo-Foo。假释委员会声明它讲释放 3 个中的两个人，随机地非正式 地选择，但是还没有透露他们的名字。自然的，Sauron 猜测他会被释放到他的在 Mordor 的 家中，哪里隐蔽处的所在，有概率 2/3。 一个士兵企图告诉 Sauron 其他将被释放的犯人的名字(或者是 Voldemort 或者是 Foo-Foo)。然而，Sauron 拒绝这个帮助。他推测如果士兵说，例如，“小兔子 Foo-Foo 将会 被释放”，那么他自己被释放的概率就降低到了 1/2。这是因为他将然后知道或者他或者 Voldemort 将被也释放，且这两个事件是大之上相等的。 使用树图和四步方法，或者证明黑暗抵住 Sauron 推理正确或者证明他是错误的。假设 如果士兵有一个提名或者 Voldemort 或者 Foo-Foo（因为他们都将被释放）的选择，那么他 随机非正式命名两个中的 1 个。 解：Sauron 被错误推断。为了理解他的错误，让我们开始通过算出样本空间，注明感兴趣 的事件和计算概率结果： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
F 13 1 F.S 1/3 1/6 EV 12 13 1/2 V.S 、1/3 V 1/6 13 released e guard says prob. guard says Foo-foo Sauron Fo0-f00” released 定义事件S,F,且”℉”如下： “F”=士兵说Foo-Foo被释放 F=Foo-Foo被释放 S=Sauron被释放 在每种情况的结果在树图中标注了。 Sauron的错误是不能意识到事件FFoo-Foo将被释放)是和事件“F”不同的（卫兵说 Foo-Foo将被释放)。特别的，Sauron被释放的概率，给出Foo-Foo被释放，是l/2: Pr(S∩F) Pr(S F)= Pr(F) 1 1 2 但是Sauron被释放的概率，给出士兵仅仅说如此仍然是2/3： Pr(S∩“F") Pr(S|“F"= Pr(“F) 1 2 3 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www.fineprint.cn
定义事件 S,F，且”F”如下： “F”＝ 士兵说 Foo-Foo 被释放 F = Foo-Foo 被释放 S = Sauron 被释放 在每种情况的结果在树图中标注了。 Sauron 的错误是不能意识到事件 F(Foo-Foo 将被释放)是和事件“F”不同的（卫兵说 Foo-Foo 将被释放）。特别的，Sauron 被释放的概率，给出 Foo-Foo 被释放，是 1/2： 但是 Sauron 被释放的概率，给出士兵仅仅说如此仍然是 2/3： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
因此，Sauron的被释放的概率实际上没有被士兵的陈述改变。 问题4您洗一副牌，给您朋友发一把5张牌的牌。 (a)假设您的朋友说，“我有方片A。”那么她有其他A的概率是多少？ 解：这个实验的样本空间是一手5张牌的集合。所有的结果是大概相等，因此每个结果的概 令S是您的朋友有方片A的事件，令A是您的朋友有另一个A的事件。 我们的目标是计算： Pr(A∩S) Pr(AS)= Pr(S) 包括方片A的牌把的数目等于从剩余的51张牌中选择4张牌的方式。因此， Pr(S) ) 75 5 包括方片A的手牌和至少一个更多的A是的个数是： 4n-()()+(@)()+()( 这里第一项计算有一个多余的A的把的个数，】 因为有1方法来选择多于的A,且有（ 方式来选择剩余的其他牌。同样的，第二项计算有两个A的把的个数，最有一项计算有3 个A的把的个数。在概率项中，我们有： Pr(A∩S)= )()+()()+()() 替换这些结果到原来的方程中给出解： Pr(AS)= ()()+)()+(③)() =0.2214.. (b)假设您的朋友说，“我有一个A”,那么她有其他A的概率是多少？ 解：样本空间和结果概率和以前一样。令L是您的朋友有至少一个A的事件，且M是您的 朋友有之多一个A的事件。我们的目标是计算： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
因此，Sauron 的被释放的概率实际上没有被士兵的陈述改变。 问题 4 您洗一副牌，给您朋友发一把 5 张牌的牌。 (a) 假设您的朋友说，“我有方片 A。”那么她有其他 A 的概率是多少？ 解：这个实验的样本空间是一手 5 张牌的集合。所有的结果是大概相等，因此每个结果的概 率是 。令 S 是您的朋友有方片 A 的事件，令 A 是您的朋友有另一个 A 的事件。 我们的目标是计算： 包括方片 A 的牌把的数目等于从剩余的 51 张牌中选择 4 张牌的方式。因此， 包括方片 A 的手牌和至少一个更多的 A 是的个数是： 这里第一项计算有一个多余的 A 的把的个数，因为有 方法来选择多于的 A，且有 方式来选择剩余的其他牌。同样的，第二项计算有两个 A 的把的个数，最有一项计算有 3 个 A 的把的个数。在概率项中，我们有： 替换这些结果到原来的方程中给出解： (b) 假设您的朋友说，“我有一个 A”，那么她有其他 A 的概率是多少？ 解：样本空间和结果概率和以前一样。令 L 是您的朋友有至少一个 A 的事件，且 M 是您的 朋友有之多一个 A 的事件。我们的目标是计算： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
Pr(MOL)Pr(M) Pr(M L)= Pr(L) Pr(L) 第二个等式成立因为您的朋友确定至少一个A,如果她有多于一个A也就是，M三L。 您的朋友至少有一个A的概率是： Pr()= ()()+()()+()()+(⊕() /48 第一项计算有一个A的牌把的个数，因为有 方式来选择A,且（4)方式来选择剩余 的4张牌。剩余的项是相似的。您的朋友有多于一个A的概率是： Pr(M)= (()+)()+()() 52 (5 把这些结果带入到原来的等式给出： Pr (ML)=7 (②)()+()()+()() =0.12285.. ()()+()()+(③)()+（④）() (c)您的(a)的结果和(b)的结果是否一样？解释为什么。 解：结果是不同的。有4个A,因此您的朋友可能有16种不同的A的子集。 ●如果您的朋友说，“我有方片A“,那么这些子集中的8个被派出在外：这些不包 括方片A。 ●然而，如果您的朋友说“我有一个A”,那么仅有一个子集是被派出在外的，这个 集合不包括A。 因此，您的朋友有第二个A的概率在这两种情况中的概率是不同的，因为我们在两个非常 不同的事件上有条件。 问题5（从一共老的期末考试.）Finalphobia是一个稀有的疾病，在这里受害者有错觉他或者 她受限于一个紧张的数学考试。 ■一个人随机的非正式的拥有finalphobia的概率是l/100。 ■一个有finalphobia的人有颤抖手的概率是9/10。 ■一个没有finaphobia的人有颜抖手的概率是l/20。 这个人平均随机选择一个有finalphobia的概率是多少，给定他或他有颤抖的手。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
第二个等式成立因为您的朋友确定至少一个 A，如果她有多于一个 A；也就是，M ⊆ L。 您的朋友至少有一个 A 的概率是： ÷ 第一项计算有一个 A 的牌把的个数，因为有 方式来选择 A，且 方式来选择剩余 的 4 张牌。剩余的项是相似的。您的朋友有多于一个 A 的概率是： 把这些结果带入到原来的等式给出： (c ) 您的(a)的结果和(b)的结果是否一样？解释为什么。 解：结果是不同的。有 4 个 A，因此您的朋友可能有 16 种不同的 A 的子集。 l 如果您的朋友说，“我有方片 A“，那么这些子集中的 8 个被派出在外：这些不包 括方片 A。 l 然而，如果您的朋友说“我有一个 A”，那么仅有一个子集是被派出在外的，这个 集合不包括 A。 因此，您的朋友有第二个 A 的概率在这两种情况中的概率是不同的，因为我们在两个非常 不同的事件上有条件。 问题 5（从一共老的期末考试.）Finalphobia 是一个稀有的疾病，在这里受害者有错觉他或者 她受限于一个紧张的数学考试。 n 一个人随机的非正式的拥有 finalphobia 的概率是 1/100。 n 一个有 finalphobia 的人有颤抖手的概率是 9/10。 n 一个没有 finaphobia 的人有颤抖手的概率是 1/20。 这个人平均随机选择一个有 finalphobia 的概率是多少，给定他或他有颤抖的手。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
解。令F是随机选择有finaphobia的人的事件，且令S是他或她有颤抖手的概率。一个如下 的树图说明： has shaky hands? F S Probability yes X X 9/1000 has finalphobia? 9/10 yes 1/10 no 1/100 1/1000 99/100 no yes X 99/2000 1/20 19/20 no 1801/2000 一个人有finaphobia的概率，给出他或她有颤抖手的概率： Pr(F∩S) Pr(F S)= Pr(S) 9/1000 9/1000+99/2000 18 18+99 18 117 问题6他们的hum-drum duties外为6.042助教，Ishan试图仅仅使用高度集中来移动物体， Grant释放一个Wang2008”的总统竞选。假设Ishan移动物体的概率是l/6,Grant变成总 统的概率是1/4，一个的成功并不改变另一个的机会。 (a)如果至少他们中的一个成功，Ishan学习移动物体的概率是多少？ 解：令L是Ishan学习移物的事件，令P是Grant变成总统的事件。我们能按照如下方法算 出想要的概率： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
解。令 F 是随机选择有 finaphobia 的人的事件，且令 S 是他或她有颤抖手的概率。一个如下 的树图说明： 一个人有 finaphobia 的概率，给出他或她有颤抖手的概率： 问题 6 他们的 hum-drum duties 外为 6.042 助教，Ishan 试图仅仅使用高度集中来移动物体， Grant 释放一个”Wang 2008” 的总统竞选。假设 Ishan 移动物体的概率是 1/6，Grant 变成总 统的概率是 1/4，一个的成功并不改变另一个的机会。 (a) 如果至少他们中的一个成功，Ishan 学习移动物体的概率是多少？ 解：令 L 是 Ishan 学习移物的事件，令 P 是 Grant 变成总统的事件。我们能按照如下方法算 出想要的概率： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
Pr(LI(LUP))= Pr(L∩(LUP)】 Pr(LUP) Pr(L) 1-Pr(LOP) 1/6 = 1-(1-1/6)(1-1/4) 4 9 第一步使用条件概率的定义。在第二步，我们重写了分数的上面和下面，使用集合恒等式。 然后，我们带入给定的概率和化简。 (b)如果他们中的一个成功，Grant变为美国总统的概率是多少？ 解：和以前一样定义事件L和P。 Pr(PnLUP)) Pr(P(LUP))= Pr(LUP) Pr(POL) =1-Pr(LOP) (1/4).(5/6) 1-(1/6)·(1/4) 5 23 (c)如果恰好他们中的一个成功，成功的是shan的概率是多少？ 解： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
第一步使用条件概率的定义。在第二步，我们重写了分数的上面和下面，使用集合恒等式。 然后，我们带入给定的概率和化简。 (b) 如果他们中的一个成功，Grant 变为美国总统的概率是多少？ 解：和以前一样定义事件 L 和 P。 ( c) 如果恰好他们中的一个成功，成功的是 Ishan 的概率是多少？ 解： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
Pr (LOP) Pr(LI((LnP)UCOP)))=Pr(((LOF)UOP))) (1/6)·(3/4) =(1/6)·(3/4)+5/6)·(174 3 8 问题7我们计算机有一个游戏Minesweeper。.在这个游戏中，有一个8×8的方格。是个随 机选择的方格包括地雷，所有的地雷的配置都可能是相等的。 (a)这个游戏的样本空间是什么，每个结果的概率是什么？ 解：这本空间包括所有的把10个地雷放到8×8面板上的安排。所有这些配置有相同的概率， 这个必须是： 1/(8) (b)当我制造少数移动，游戏板看起来像这样的： 113 现在我知道三个标数字的方块不包括地雷。更进一步说，每个数字表示有多少个方块和包括 地雷的数字d相邻。（两个方块是相邻的，如果他们共享一条边或一个角。）令E三S是和 这个数字一致的地雷配置。描述所有的在事件E中的结果。 解：这里是一个为了讨论有一些标注的方块板面： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
问题 7 我们计算机有一个游戏 Minesweeper。 在这个游戏中，有一个 8×8 的方格。是个随 机选择的方格包括地雷，所有的地雷的配置都可能是相等的。 (a) 这个游戏的样本空间是什么，每个结果的概率是什么？ 解：这本空间包括所有的把 10 个地雷放到 8×8 面板上的安排。所有这些配置有相同的概率， 这个必须是： (b) 当我制造少数移动，游戏板看起来像这样的： 现在我知道三个标数字的方块不包括地雷。更进一步说，每个数字表示有多少个方块和包括 地雷的数字 d0相邻。（两个方块是相邻的，如果他们共享一条边或一个角。）令 E ⊆ S 是和 这个数字一致的地雷配置。描述所有的在事件 E 中的结果。 解：这里是一个为了讨论有一些标注的方块板面： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn