22.4圆周角
练习一:下图中有哪些圆周角? 以A为顶点:∠DAB、∠DAC、∠BAC A 以B为顶点:∠ABD 以D为顶点:∠ADB
练习一：下图中有哪些圆周角？ A.. B C D 以A为顶点：∠ DAB、∠ DAC、∠ BAC 以B为顶点：∠ ABD 以D为顶点：∠ ADB
证明(1)圆心O在圆周角∠BAC的一边上(图1) . OA=OC ∴∠BAC=∠C ∠BOC是△OAC的外角 ∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC ∠BAC=∠BOC
A B C O (1) 证明（1）圆心O在圆周角BAC的一边上（图1） OA =OC BAC =C BOC是OAC的外角 BOC = C+BAC = 2BAC BAC = BOC 2 1
(2心O在∠BAC的内部(图2) 连结AO并延长,交⊙O于D利用(1)的结果,有 A ∠BAD=-∠BOD、∠DAC=-∠DOC D C B (2) ∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC)即∠BAD=∠BOC
A B C O (2) D 连结AO并延长,交⊙ O于D,利用(1)的结果,有 (2)圆心O在BAC的内部（图2） BAD = BOD DAC = DOC 2 1 2 1 、 BAD + DAC = BOD + DOC BAD = BOC 2 1 2 1 （ ）即
3圆心O在∠BAC的外部(图3) 连结AO并延长,交O于D,利用(1)的结果有 ∠DAC=-∠DOC、∠DAB=-∠DOB ∠DAC-∠DAB=(∠DOC-∠DOB) ∵.∠BAC=-∠BOC
A B C O D (3) 连结AO并延长,交O于D ,利用(1)的结果,有 (3)圆心O在BAC的外部（图3） DAC = DOC DAB = DOB 2 1 2 1 、 ( ) 2 1 DAC − DAB = DOC −DOB BAC = BOC 2 1
员周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 半
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半。A B C O A B C O A B C O
两点启示:1、要说明一个命题是真命题,如果一个图形不能 概括一般的情况,那么就往往需要分类讨论。 分类讨论的原则是既不遗漏,又不重复。 2、一个定理的发现,最初往往是从特殊情况中得 到信息,然后进行大胆猜想,从特殊到一般, 最后完整起来
两点启示：1、要说明一个命题是真命题，如果一个图形不能 概括一般的情况，那么就往往需要分类讨论。 分类讨论的原则是既不遗漏，又不重复。 2、一个定理的发现，最初往往是从特殊情况中得 到信息，然后进行大胆猜想，从特殊到一般， 最后完整起来
练习二:填空 (1)40°弧所对的圆心角是40度,圆周角20度。 (2)一条弧所对的圆周角等于50°,则这条弧所对的圆心角 是100度,这条弧是0度。 (3)n°弧所对的圆心角是卫度,所对的圆周角是≌n度
练习二：填空 （1）40°弧所对的圆心角是 度，圆周角 度。 （2）一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角 是 度，这条弧是 度。 （3）n °弧所对的圆心角是 度，所对的圆周角是 度。 40 20 100 100 n ½ n
(4)如图,A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=Rt∠, 则ADC=270度,∠ABC=135度。 (5)半圆或直径所对的圆周角是90度 90°的圆周角所对的弦是直径
（4）如图，A、B、C、D在⊙Ｏ上，∠ AOC=Rt∠， 则ADC= 度 ，∠ ABC= 度。 （5）半圆或直径所对的圆周角是 度。 90°的圆周角所对的弦是 。 A B C D O A B C O 270 135 90 直径 A B C O
例:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆 交BC于D,交AC于E。 (1)求证:BD=CD (2)我们可以把∠C称为圆外角, 它对着DE和AMB试探求∠C与 E D、AMB之间的关系。 (1)证明:连结AD 2)由圆周角定理得: AB是⊙O的直径, ∠ DAC 2DE∠ADBn2AMB 点D在圆上 ∠ADB=∠C+∠DAC ∠ADB=Rt ∠C=∠ADB-∠DAC AD⊥BC m V2AMB-72DE=7/2(AMB-DE AB=AC 因此,圆外角的度数等于它所对的大弧 . BD=CD 度数与小弧度数的差的一半
例：已知：如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆 交BC于D，交AC于E。 （1）求证：BD=CD （2）我们可以把∠C称为圆外角, 它对着DE和AMB,试 探求∠ C与 DE、AMB之间的关系。 （2）由圆周角定理得： ∠DAC = ½DE ∠ ADB = ½AMB ∵ ∠ADB= ∠C+ ∠DAC ∴ ∠C= ∠ADB- ∠DAC = ½AMB- ½DE =½(AMB-DE) 因此,圆外角的度数等于它所对的大弧 度数与小弧度数的差的一半. （1）证明：连结AD ∵ AB是⊙Ｏ的直径， 点D在圆上 ∴ ∠ ADB=Rt ∠ ∴ AD ⊥ BC ∵ AB=AC ∴ BD=CD m m m M E O A B D C