吉林大学：《技术经济学》课程电子教案（PPT课件）第十五讲

第四节 概率分析（风险分析） 所谓风险是指一个事件产生人们所不希望的结果的可 能性。 概率分析（风险分析）是一种利用概率值定量研究不 确定性的方法。它要通过研究不确定因素按一定概率分布 同时变动，从而找出经济效果评价值连续概率分布情况， 以判断项目可能发生的损益或风险。为在不确定性情况下 作投资决策提供科学依据。 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 2 第四节 概率分析（风险分析） 所谓风险是指一个事件产生人们所不希望的结果的可 能性。 概率分析（风险分析）是一种利用概率值定量研究不 确定性的方法。它要通过研究不确定因素按一定概率分布 同时变动，从而找出经济效果评价值连续概率分布情况， 以判断项目可能发生的损益或风险。为在不确定性情况下 作投资决策提供科学依据

随机现金流的概率描述 严格说来，影响方案经济效果的大多数因素（如投 资额、成本、销售量、产品价格、项目寿命期等)都是 随机变量。我们可以预测其未来可能的取值范围，估计 各种取值或值域发生的概率，但不可能准确地预知它们 取什么值。投资方案的现金流量序列是由这些因素的取 值所决定的，所以，实际上方案的现金流量序列也是随 机变量，称之为随机现金流。 完整地描述一个随机变量需要确定其概率分布的类 型和参数。常见的类型有均匀分布、二项分布、泊松分 布、指数分布和正态分布等。在经济分析与决策中使用 最普遍的是均匀分布与正态分布。 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 3 一、随机现金流的概率描述 严格说来，影响方案经济效果的大多数因素（如投 资额、成本、销售量、产品价格、项目寿命期等）都是 随机变量。我们可以预测其未来可能的取值范围，估计 各种取值或值域发生的概率，但不可能准确地预知它们 取什么值。投资方案的现金流量序列是由这些因素的取 值所决定的，所以，实际上方案的现金流量序列也是随 机变量，称之为随机现金流。 完整地描述一个随机变量需要确定其概率分布的类 型和参数。常见的类型有均匀分布、二项分布、泊松分 布、指数分布和正态分布等。在经济分析与决策中使用 最普遍的是均匀分布与正态分布

描述随机变量的主要参数是期望值与方差。 期望值是在大量的重复事件中随机变量取值的平均值， 即随机变量所有可能取值的加权平均值。权重为各种可 能取值出现的概率。 方差是反映随机变量取值的离散程度的参数。 假定某方案的寿命期为个周期（通常取1年为一个 周期)，净现金流序列为yoy1yn。周期数n和各周期 的净现金流y(=0,1,,)都是随机变量。为便于分析， 我们设为常数。从理论上讲，某一特定周期的净现金流 y可能出现的数值有无限多个，我们将其简化为若干个 离散数值y,y2,,ym。这些离散数值有的出现的 概率要大一些，有的出现的概率要小些，设与各离散数 值对应的发生概率为P1,P2,Pm, ∑P=1 j=1 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 4 描述随机变量的主要参数是期望值与方差。 期望值是在大量的重复事件中随机变量取值的平均值， 即随机变量所有可能取值的加权平均值。权重为各种可 能取值出现的概率。 方差是反映随机变量取值的离散程度的参数。 假定某方案的寿命期为n个周期（通常取1年为一个 周期），净现金流序列为y0 ,y1,yn。周期数n和各周期 的净现金流yt（t=0,1, ，n)都是随机变量。为便于分析， 我们设n为常数。从理论上讲，某一特定周期的净现金流 yt可能出现的数值有无限多个，我们将其简化为若干个 离散数值yt (1),yt (2)， ，yt (m)。这些离散数值有的出现的 概率要大一些，有的出现的概率要小些，设与各离散数 值对应的发生概率为P1 ,P2 , Pm， 1 1  = = m j P j

则第t周期净现金流y的期望值为： E(y,)=2y"P (4-1) 第t周期净现金流y的方差为： Dy,)=2[y”-E(y,)·P (4-2) 5 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 5 则第t周期净现金流yt的期望值为： = = m j j j E yt yt P 1 ( ) ( ) 第t周期净现金流yt的方差为： =  −  = m j t j j D yt yt E y P 1 2 ( ) ( ) [ ( )] （4-1） （4-2）

二、方案净现值的期望值与方差 我们以净现值为例讨论方案经济效果指标的概率描 述。由于各个周期的净现金流都是随机变量，所以把各个 周期的净现金流现值加总得到的方案净现值必然也是一个 随机变量，我们称之为随机净现值。大多数情况下，可以 认为随机净现值近似地服从正态分布。设各周期的随机净 现金流为y(=0,1,.,),随机净现值的计算公式为： WPV=∑y,(1+i。) (4-3) 设方案寿命期的周期数n为一个常数，根据各周期随机 现金流的期望值可以求出方案净现值的期望值： E(NPV)=∑E(y,)·(1+i)' (4-4) 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 6 二、方案净现值的期望值与方差 我们以净现值为例讨论方案经济效果指标的概率描 述。由于各个周期的净现金流都是随机变量，所以把各个 周期的净现金流现值加总得到的方案净现值必然也是一个 随机变量，我们称之为随机净现值。大多数情况下，可以 认为随机净现值近似地服从正态分布。设各周期的随机净 现金流为yt (t=0,1,…,n)，随机净现值的计算公式为： t n t t NPV y i − = =  (1+ ) 0 0 设方案寿命期的周期数n为一个常数，根据各周期随机 现金流的期望值可以求出方案净现值的期望值： =   + = − n t t t E NPV E y i 0 0 ( ) ( ) (1 ) （4-3） （4-4）

方案净现值的方差的大小与各周期随机现金流之间 是否存在相关关系有关，如果方案寿命周期内任意两个 随机现金流之间不存在相关关系或者不考虑随机现金流 之间的相关关系，方案净现值的方差的计算公式为： D(NPV)=∑Dy,)·(1+i)2”(4-5) 如果考虑随机现金流之间的相关关系，方案净现值的方 差的计算式为： D(NPY)= D)+222Coyy） (4-6) (1+i,) (1+i) 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 7 方案净现值的方差的大小与各周期随机现金流之间 是否存在相关关系有关，如果方案寿命周期内任意两个 随机现金流之间不存在相关关系或者不考虑随机现金流 之间的相关关系，方案净现值的方差的计算公式为： 如果考虑随机现金流之间的相关关系，方案净现值的方 差的计算式为： =   + = − n t t t D NPV D y i 0 2 0 ( ) ( ) (1 )   + + + = = − = = + n t n n t t i Cov y y i D y D NPV 0 1 0 1 0 2 0 (1 ) ( ) 2 (1 ) ( ) ( )       （4-5） （4-6）

式中，yy分别是第τ周期和第θ周期的相关现金流量， Cov(yya)是y,和y这两个随机变量的协方差。上式也可写成： DNpn）-ati +22P (4-7) t=00=1 (1+i)0 式中，o,o,σ分别是第t周期、第τ周期、第θ周期随机现 金流的标准差，=VDy,),o,=VDy,),0。=VDy); P6是y,与ya的相关系数(-1≤P≤+1)，当P=-1或+1时，y与yg 完全相关；当p90时，y,与yg相互独立；当-1<p<+1且 P0时，y:与y部分相关。 8 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 8 式中，y ,y分别是第周期和第周期的相关现金流量， Cov(yy )是y和y这两个随机变量的协方差。上式也可写成：   + + + = = − = = + n t n n t t i i D NPV 0 1 0 1 0 2 0 2 (1 ) 2 (1 ) ( )          式中，t，  ， 分别是第t周期、第周期、第周期随机现 金流的标准差， ( ), ( ), ( );    D y D y D y t = t = t = 是y 与y的相关系数(-1  +1),当=-1或+1时， y 与y 完全相关；当=0时， y 与y相互独立；当-1< <+1且 0时， y 与y部分相关。 （4-7）

在实际工作中，如果能通过统计分析或主观判断给出 在方案寿命期内影响方案现金流量的不确定因素可能出现 的各种状态及其发生概率，就可通过对各种因素的不同状 态进行组合，求出所有可能出现的方案净现金流量序列及 其发生概率，在此基础上，可以不必计算各年净现金流量 的期望值与方差，而直接计算方案净现金值的期望值与方 差。 如果影响方案净现金流量的不确定因素在方案寿命期 内可能出现的各种状态均可视为独立事件，则由各因素的 某种状态组合所决定的方案净现金流序列的发生概率应为 各因素的相应状态发生概率的乘积。 9 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 9 在实际工作中，如果能通过统计分析或主观判断给出 在方案寿命期内影响方案现金流量的不确定因素可能出现 的各种状态及其发生概率，就可通过对各种因素的不同状 态进行组合，求出所有可能出现的方案净现金流量序列及 其发生概率，在此基础上，可以不必计算各年净现金流量 的期望值与方差，而直接计算方案净现金值的期望值与方 差。 如果影响方案净现金流量的不确定因素在方案寿命期 内可能出现的各种状态均可视为独立事件，则由各因素的 某种状态组合所决定的方案净现金流序列的发生概率应为 各因素的相应状态发生概率的乘积

设有A,B,C三个影响方案现金流量的不确定因素，它们分 别有p,q,中可能出现的状态，三个因素可能的状态组合 有Pxq×r种。每一种状态组合对应着一种可能出现的方案 净现金流量序列。由A因素的第种可能状态0A,B因素的 第j种可能状态0；与C因素的第k种可能状态0k的组合 0n0n0 所决定的方案净现金流量序列的发生概率为： P=PAi·PBg·PCk (4-8) 10 吉林大学管理学院版权所有

吉林大学管理学院版权所有 10 Ai Bj Ck  =     （4-8） 所决定的方案净现金流量序列的发生概率为：  Ai  Bj  Ck 设有A,B,C三个影响方案现金流量的不确定因素，它们分 别有p,q,r中可能出现的状态，三个因素可能的状态组合 有pqr种。每一种状态组合对应着一种可能出现的方案 净现金流量序列。由A因素的第i种可能状态Ai,,B因素的 第j种可能状态Bj;与C因素的第k种可能状态ck的组合

式中，PAi,PB,Pc分别为0A,0B,0ck的发生概率。 在需要考虑的不确定因素及其可能出现的状态不太多 的情况下，可以借助如图4-1所示的概率树对各种因素的不 同状态进行组合并计算出各种状态组合所对应的方案净现 金流序列的发生概率。 图中有A,B,C三种需要考虑的不确定因素，A因素 有两种可能出现的状态，B因素与C因素各有三种可能出现 的状态。可能的状态组合共有18种，在概率树上表现为18 个分支。从概率树根部到各分支末段的每条路径都代表一 种状态组合，每一种状态组合对应着一种方案的净现金流 量状态。图中概率树各分支的末端给出了相应的不确定因 素状态组合的表达式及所对应的方案净现金流量状态发生 概率的计算式。 在得知所有可能出现的方案现金流量状态及其发生概 吉林大学率的基础社，不难计算出方案净现值的期望值与方差

吉林大学管理学院版权所有 11 式中，PAi，PBj，PCk分别为Ai,Bj,Ck的发生概率。 在需要考虑的不确定因素及其可能出现的状态不太多 的情况下，可以借助如图4-1所示的概率树对各种因素的不 同状态进行组合并计算出各种状态组合所对应的方案净现 金流序列的发生概率。 图中有A，B，C三种需要考虑的不确定因素，A因素 有两种可能出现的状态，B因素与C因素各有三种可能出现 的状态。可能的状态组合共有18种，在概率树上表现为18 个分支。从概率树根部到各分支末段的每条路径都代表一 种状态组合，每一种状态组合对应着一种方案的净现金流 量状态。图中概率树各分支的末端给出了相应的不确定因 素状态组合的表达式及所对应的方案净现金流量状态发生 概率的计算式。 在得知所有可能出现的方案现金流量状态及其发生概 率的基础上，不难计算出方案净现值的期望值与方差