滑移线理论及应用 平面应变问题和移线场 12 0、8.2汉盖( Hencky)应力方程—滑 765 移线的治线力学方程 §8滑移线的几何性质 4应力边界条件和滑移线场的绘制 38.5三角形均勻场与简单扇形场组合 问题及实例 6双心扇形场问题及实例
滑移线理论及应用 §8.1 平面应变问题和滑移线场 §8.2 汉盖（Hencky）应力方程——滑 移线的沿线力学方程 §8.3 滑移线的几何性质 §8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制 §8.5 三角形均匀场与简单扇形场组合 问题及实例 §8.6 双心扇形场问题及实例
88平面应变问题和滑移线场 9 L(I) (A) (a)塑性流动平面(物理平面),(b)正交曲线坐标系的应力特点,(c)应力莫尔圆 图8-1平面应变问题应力状态的几何表示
§8.1 平面应变问题和滑移线场 （a）塑性流动平面（物理平面），（b）正交曲线坐标系的应力特点，（c）应力莫尔圆 图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
平面应变问题 根据乎面流动的塑性条件,m=k 561对esca塑性条件k=a12 9对 Mises塑性条件k=/〈) 3彩/由国8-1的几何关系可知,有 Oy=p+k sin 2d k sin 2g k cos 2 式中p(=m=(a1+a,)2)静水压力 Φ——定义为最大切应力zm(=k)方向 货线标轴0x的夹角
平面应变问题 根据平面流动的塑性条件， （对Tresca塑性条件 ； 对Mises塑性条件 ） 于是，由图8-1c的几何关系可知，有 式中 ——静水压力 ——定义为最大切应力 方向 与坐标轴Ox的夹角。 x = − p − k sin 2 y = −p + k sin 2 xy = k cos2 max = k k = T / 2 k = T / 3 ( ( ) / 2) p = − m = − x + y max (= k)
F面应变问题 面塑性流动问题。由于某一方向上的位移分量为喽 (山0),故只有三个应变分量(园、圆、),也称 国应问题。根据塑性流动法则,可知 765 式中,σm为平均应力;p称为静水压力。 根据ν变形增量理论,平面塑性流动问题独立的应力分量 a、可、),于是平面应变问题的最大切应力 m=(a1-a3)/2=V(ox-o,)/212+r2
平面应变问题 对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零 （设duZ=0），故只有三个应变分量（ 、 、 ），也称 平面应变问题。根据塑性流动法则，可知 式中， 为平均应力；p称为静水压力。 根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量 也只有三个（ 、 、 ），于是平面应变问题的最大切应力 为： x d y d xy d Z = 2 = ( x + y ) / 2 = m = −p m x y xy 2 2 max 1 3 ( )/ 2 [( )/ 2] x y xy = − = − +
绘制滑移线 对裡想刚塑材料,材料的屈服切应力k为常数。 611因此塑性变形区内各点莫尔圆半径(即最大切应 93)等于材料常数k。如图82所示,在xy坐标平 7面任取一点P1,其 的,即方向为 方向上取一点P2,其 方向为 依此取点a2,其线方向为 依次连续取下去 直至鹚性变形区的边界为止……,最后获得一条折线 zP3-P4.,称为 线。按正、负两最大勿 沙力相互正交的性质,由P点沿与的垂直方向上, 即在P点的 的,即方向上取点,也可得 到一条折线 ,称为线
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。 因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应 力 ）等于材料常数k。如图8-2所示，在x-y坐标平 面上任取一点P1，其 的，即 方向为 ， 沿 方向上取一点P2，其 方向为 ， 依此取点a2，其 线方向为 ，依次连续取下去， 直至塑性变形区的边界为止……，最后获得一条折线 P1-P2-P3-P4……，称为 线。按正、负两最大切 应力相互正交的性质，由P点沿与 的垂直方向上， 即在P点的 的，即 方向上取点，也可得 到一条折线 ……，称为 线。 max 0 0 1 2 ( ) max − 1 2 3 4 P −P' −P' −P' = k max 绘制滑移线
由图8可知,滑移线的微分方程为: 12 9 tgop 对线 P (+)=c对B线 图8-2xy坐标系与滑移经网络
由图8-2可知，滑移线的微分方程为： 对 线 对 线 图8-2 x-y坐标系与滑移经网络 = tg dx dy = tg + = −ctg dx dy ( /)
滑形线理论法 12 线理论法是一种图形绘制与数值计算相结合 9的法,即根据平面应变问题洲移线场的性质绘 7栘线场,再根据精确平衡微分方程和精确塑 性条件叇立汉盖( Hencky)应为方程,求得理想 刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形的一种方法
滑移线理论法是一种图形绘制与数值计算相结合 的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘 出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑 性条件建立汉盖（Hencky）应力方程，求得理想 刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形力的一种方法。 滑移线理论法
882汉盖( Hencky)应力方程—一滑移线的沿 力学方程 12 有部面应变问题的微分平衡方程 0o, 0.0 0 净端3)代入上式,得 ap +2k cosip Od agp Or+ 2k sin 2a 0 ax op +2ksin2gp ob 2k cosa 0 ax
§8.2 汉盖（Hencky）应力方程——滑移线的沿 线力学方程 推导： 有平面应变问题的微分平衡方程 将式（8-3）代入上式，得 = 0 + x y x yx = 0 + x y xy y 2 sin2 2 cos2 0 2 cos2 2 sin2 0 = − + = + + y k x k y p y k x k x p
理得表达成 不0小吗对题取“学 9 3: Apab=pa- pr 765 式中 △D=±2k△Φ 上式表明,沿滑移线的静水压力差(N)与滑移线 上相痧倾角差(幽)成正比。故式表明了滑移线的 盖应力方程不仅体现了微分平衡方程。同时也满足 了塑性条件方程
整理得表达成 对 线取“+”号 对 线取“-”号 式中， 上式表明，沿滑移线的静水压力差（ ）与滑移线 上相应的倾角差（ ）成正比。故式表明了滑移线的 沿线性质。 汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足 了塑性条件方程。 ab ab p = 2k pab = pa − pb ab = a − b pab ab
883滑移线的几何性质 12 汉盖第一定理 9 3 同族的两条滑移线与加族任意一条 765 滑移线相交两点的倾角差和静水压力 变化量均保持不变。 二、汉盖第二定理 动点沿某族任意一条滑移线移动 时,过该动点起、始位置的另一族两 条滑移线的曲率变化量等于该点所移 动的路程
§8.3 滑移线的几何性质 一、汉盖第一定理 同族的两条滑移线与加族任意一条 滑移线相交两点的倾角差和静水压力 变化量均保持不变。 二、汉盖第二定理 一动点沿某族任意一条滑移线移动 时，过该动点起、始位置的另一族两 条滑移线的曲率变化量等于该点所移 动的路程