第14卷第4期 大学物理实验 Vol 14 No 4 2001年12月出版 PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE Dec,2001 文章编号:1007-2934(2001)04-0001-05 作线性电路振荡周期分岔及 费根鲍姆常数的测量 张渊邸明陆申龙 孙玉龙 (复旦大学,上海,200433) (上海大学核力电子设备厂,上海,201800) 摘要:设计一种实验装置,能显示非线性电路中振荡周期分岔与混沌现象;同时,测出 了该实验装置非线性电阻的伏安特性;利用该装置介绍一种测量费根鲍姆常数 ( Feigenbaum Constant)的方法。 关键词:非线性电路,混沌现象,伏安特性,费根鲍姆常数 中图分类号:041.1 文献标识码:A i引言 长期以来,人们在认识和描述运动时,大多只局限于线性动力学的描述,即确定的运 动有一个完美的解析解。但自然界在相当多的情况下,非线性现象却起着很大的作用。 1963年,美国气象学家 Loren在分析天气预报模型时,首先发现空气动力学中的混沌现 象,而该现象,只能依靠非线性动力学来解释。 混沌现象出现在非线性电路中是普遍的而又极为复杂的现象,笔者设计一种非线性 电路,通过改变电路中的参数,从而观察到了倍周期分岔、阵发混沌、奇异吸引子等系列现 象。实验对非线性电路的电阻进行了伏安特性的测量,以此研究混沌现象产生的原因,并 通过对实验电路中参数的测定,初步对费根鲍姆常数进行了测量。现本仪器已由上海大 学核力电子设备厂生产。 2实验原理 2.1非线性电路与非线性动力学 实验电路(原理图)如图1所示。图1中只有一个非线性元件R,它是一个有源非线 性负阻的,电感L与电容C组成一个损耗可以忽略的振荡回路。可变电阻Rn+Rn2和电 容C1串联将振荡的产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R是一个三段分段 线性元件。由于加在此元件上的电压增加时,其上面的电流减少故而称为非线性负阻元 件。 收稿日期:2001-07-14 万方数据
第 14卷 第 4期 2001年 12月出版 大 学 物 理 实 验 PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE Vol. 14 No. 4 Dec. 2001 文章编号:1007一2934(2001)04- 0001一05 非线性电路振荡周期分岔及 费根鲍姆常数的测量 张 渊 邱 明 陆申龙 孙玉龙 (复旦大学，上海，200433) (上海大学核力电子设备厂，上海，201800) 摘 要:设计一种实验装置，能显示非线性电路中振荡周期分岔与混沌现象;同时，测出 了该实验装置非线性电阻的伏安特性;利用该装置介绍一种测量费根鲍姆 常数 ( Feigenbaum Constant)的方法。 关键词:非线性电路，棍沌现象，伏安特性，费根鲍姆常数 中图分类号;0441.1 文献标识码:A 1 引言 长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学的描述，即确定的运 动有一个完美的解析解。但自然界在相当多的情况下，非线性现象却起着很大的作用。 1963年，美国气象学家 Lore二在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现 象，而该现象，只能依靠非线性动力学来解释。 混沌现象出现在非线性电路中是普遍的而又极为复杂的现象，笔者设计一种非线性 电路，通过改变电路中的参数，从而观察到了倍周期分岔、阵发混沌、奇异吸引子等系列现 象。实验对非线性电路的电阻进行了伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并 通过对实验电路中参数的测定，初步对费根鲍姆常数进行了测量。现本仪器已由上海大 学核力电子设备厂生产。 2 实验原理 2.1 非线性电路与非线性动力学 实验电路(原理图)如图1所示。图1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线 性负阻的，电感L与电容C组成一个损耗可以忽略的振荡回路。可变电阻 Rat + R。和电 容Ct串联将振荡的产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R是一个三段分段 线性元件。由于加在此元件上的电压增加时，其上面的电流减少，故而称为非线性负阻元 件。 收稿日期:2001一07一14 万方数据
R、+R L 田1实验原理图 图1的电路动力学方程为: dv =G(Vcr-Vci) dy G(Vct-Ia) de 上式方程组中,导纳G=1/(Rn+Rn2),Vci、Ve2分别表示加在电容C1、C2上的电压 i表示流过L的电流,g表示非线性电阻的导纳。 2.2有源非线性负阻元件的实现 有源非线性负阻元件实现的方法有多种,这里使用一种较为简单的电路,采用两个运 算放大器(一个双运放082)和6个配置电阻来实现,其电路如图2所示,它主要是一个 正反馈电路(元件),能输出电流维持振荡器不断振荡,而非线性负阻元件的作用是能使振 动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 R TL082 R R4 图2正反愤电路 2.3 Feigenbaum经过分析和计算发现一条通向混沌的典型道路—振荡系统一旦发生 倍周期分岔必将导致混沌。在出现倍周期分岔的过程中,实验电路中对应着一系列参数 n(出现某周期分盆时对应电路中的某个物理量)8=limn→(0-An+1)(x+1-x+2)= 4669102609,而且参数λ与具体的哪个物理量是无关的, Feigenbaum常数是一个普适常 2 万方数据
田 t 买验原理图 、、.冲了 、 .苦了 、 1 了 ，胜孟 ， ‘ 八﹂ 护了. 、 尹1 、 ‘JI 、 图 I的电路动力学方程为: C, dVc, 。 ‘ 、， ，，、 ，， 一万丁一= yk v c2一 Y' ci 一gY ci a乙 dI'll, G，一下二 一 dt =G (V,;一1"C )+LL 二一V C2 上式方程组中，导纳G=1/(Rv,+R,2),I"CIVc2分别表示加在电容 C,、C:上的电压， &L表示流过L的电流,g表示非线性电阻的导纳。 2.2 有源非线性负阻元件的实现 有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用一种较为简单的电路，采用两个运 算放大器(一个双运放 72082)和6个配置电阻来实现，其电路如图2所示，它主要是一个 正反馈电路(元件)，能输出电流维持振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是能使振 动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 一 一 ~-， I 门 州 习 R3 一 -抓 1,门一 - 'Y 几 一、汤 R2 TLO82 Rt Ce Ra}) 图2 正反馈电路 2..3 Feiganbaurn经过分析和计算发现一条通同棍沌的典型道路— 振荡系统一旦发生 倍周期分岔必将导致混沌。在出现倍周期分岔的过程中，实验电路中对应着一系列参数 An(出现某周期分岔时对应电路中的某个物理量)8二lim。一 (1。一久。，;)/(凡。，，一A. .2)二 4.669102609，而且参数A与具体的哪个物理量是无关的，Feigenbaum常数是一个普适常 万方数据
数 J2( CH2) J2(CHI) ? R C R RI R 图3实验装置图 3实验装置电路图 图3中,右边部分为双运放TI082CN集成块,其中8脚与4脚步接5V直流电源,由戴 维宁定理,双运放加有关电阻可视为一个等效直流电源和非线性电阻的串联,其中R1= 3.3k92,R2=22k,R3=22k2,R4=2.2kQ,R3=22092,R6=2200,1/G由两个阻值为2 2k和1009的可调多圈电位器串联组成,自制电感L=19mH,采用铁氧体作芯子,C1= 10nF,C2=100nF 4实验现象的观察及物理量物测量 4.倍周期分岔的观察 按图3接好实验装置图后,将1/G值放到较大值,这时示波器出现李萨如图4-a图 形,逐步渐小1/G(即减小Rvn+Rv2值),原先一倍周期变为2倍周期,继续减小1/G值,出 现4倍、8倍周期,16倍周期与阵发混沌交替现象,再减小L/G值,出现3倍周期如图4-e 所示,图像十分清楚、稳定。根据 Yorke的著名论断,周期3意味着混沌,说明电路即将出 现混沌。继续减小1/C,则出单个吸引子,及美丽的双吸引子(即蝴蝶效应)。 当调节微调电位器时,吸引子的形状与尺寸发生激烈的变化,这是因为对电路的初始 值十分敏感的缘故。实验对周固的环境也有一些依赖,笔者曾观察到示波器中的双吸引 子几乎静止的效果(图4-h通常为双吸引子之蝴蝶效应),笔者利用示波器照相机拍下了 倍周期分岔的系列照片,见图4 4非线性电阻的伏安特性测量 线性负阻元件一般满足“蔡氏电路”的特性曲线。实验中,将电路的LC振荡部分 与非线性电阻直接断开,因为负阻是有源的,所以可用一个电阻箱作电阻,只要直接测出 加在非线性负阻的电压与流过它的电流即可测得伏一安特性数据。 本实验测得数据见表1。 万方数据
数。 J2(CH2) Scope x-y J2(CHI) 鱼蔽了双1 . }尸 r> R6 R. i Ru2 C ] 土 土 丁 | 1 L 图 3 实验装置图 3 实验装置电路图 图3中，右边部分为双运放TLO82CN集成块，其中8脚与4脚步接5V直流电源，由戴 维宁定理，双运放加有关电阻可视为一个等效直流电源和非线性电阻的串联，其中 R;二 3.3ka, R2 = 22k,(1, R3 = 22ka, R4 = 2. 2ka, RS二220d1 , R5 = 220d1, 1 / G由两个阻值为2. 2M 和100。的可调多圈电位器串联组成，自制电感 L二19 mH，采用铁氧体作芯子，C:二 lonF, C,二100nFo 4 实验现象的观察及物理量物测童 4.1 倍周期分岔的观察 按图3接好实验装置图后，将 1/G值放到较大值，这时示波器出现李萨如图4一a图 形，逐步渐小1/G(即减小Rv;十RV2值)，原先一倍周期变为2倍周期，继续减小1/G值，出 现4倍、8倍周期，16倍周期与阵发混沌交替现象，再减小 1/G值，出现3倍周期如图4一e 所示，图像十分清楚、稳定。根据Yorke的著名论断，周期3意味着混沌，说明电路即将出 现混沌。继续减小 1/G，则出现单个吸引子，及美丽的双吸引子(即蝴蝶效应)。 当调节微调电位器时，吸引子的形状与尺寸发生激烈的变化，这是因为对电路的初始 值十分敏感的缘故。实验对周围的环境也有一些依赖，笔者曾观察到示波器中的双吸引 子几乎静止的效果(图4一h通常为双吸引子之蝴蝶效应)，笔者利用示波器照相机拍下了 倍局期分岔的系列照片，见图4 ; 4 非线性电阻的伏安特性测量 非线性负阻元件一般满足“蔡氏电路”的特性曲线。实验中，将电路的 LC振荡部分 与非线性电阻直接断开，因为负阻是有源的，所以可用一个电阻箱作电阻，只要直接测出 加在非线性负阻的电压与流过它的电流即可测得伏一安特性数据。 本实验测得数据见表 to 万方数据
(a)一倍周期 (b)两倍周期 (c)四倍周期 (d)阵发混沌 (e)三倍周期 ()奇异吸引子 (g)双吸引于(1) (l)双吸引子(2) 图4倍周期分岔系列照片 表1非线性电路伏安特性 电压/V 电流/mA 电压/V 电流/mA 0.010 0.0125 3.00 0.114 0.0912 4.000 2.2167 0.100 0.005 S.00 2.6240 6 0.3105 7.001 3.4368 -0.599 0.4605 8.000 3.8430 1.018 0.7795 10.000 2.695 1.190 0.9104 10.600 5844 1.443 1.1027 10.800 2067 1.812 11.200 0.4498 -2.000 I.4011 11,400 0.0671 万方数据
(a)一倍周期 (C)两倍周期 (c)四不音周期 (d)阵发混沌 (C)三倍周期 (0 奇异吸引子 (幻 双吸引子 (1) (11)双吸引子 (2) 图4 倍周期分岔系列照片 表 1 非线性电路伏安特性 电压/V 电流/n:1 0.0125 0.0912 0.0805 0.1575 0.31x5 0.4605 0.6227 0.7795 0.9104 1.1027 1.2428 1. ?230 1.4011 电压/V 胡 仰 咖 溯 翩 阴 咖 溯 胡 8 0 阴 姗 4 0 3 . 屯 丘 丘 认 8 . 久 1 01 01 0l n l 一 J 一 - 一 - 1 - - 一 一 - - 一0.010 一0.114 一0.100 一0.201 一0.402 一0.599 一0.812 一1.018 一 I.190 一1.443 一1.629 一 1.812 一2.1X找〕 电流/mA 1.8095 2.2167 2.6240 3.0312 3.4368 3.8430 4.2447 2.6952 1.5844 1.2067 0.8308 0.4498 0.0671 万方数据
把上表数据分三段进行线性拟合,同时根据方程/=AV+B可得参数如下: 电压在-0.010V与-2.00V之间A1=0.0018B1=0.0072976r1=0.99815 电压在-3.00V与-9.000V之间A2=0.00059B2=0.0406r2=0.9999 电压在-10.000V与-11.400V之间A3=0.021 B3=0.001877 0.99997 上式中A、B、r分别代表截距,斜率和线性相关系数。 4.3费根鲍姆常数的测量 费根鲍姆常数是非线性代数中十分重要的常数,它是对“虫口模型”方程无穷次迭代 的结果(数学上可严格证明)。 本实验对上述用非线性电路测量费根鲍姆常数的方案进行了厂复实验。最终笔者选 挥了发生倍周期分岔时,非线性电阻两端的电压u作为参数礼。当刚出现两个分岔时, An1=7.372V,出现四个分岔时入n2=7250V,八个分岔时n3=7.223V。故: δ=(λu-An2)/(λ2-λn3)=(7.372-7.250)/(7.250-7.223)=4.519 由于实验仪器的眼制,很难观察到更高倍数的周期分岔,但非常幸运的是做了n次 实验测量,结果与常数4.6692却比较接近,这使实验者相信费根鲍姆常数的正确性。可 以预言,随n增大δ将向理想费根鮀娂常数近。 参考文 (1〕葛真、徐云段、渝龙,非线性电路及混沌,重庆大学b版社,1989 「2〕乇柯、田真、陆申龙.非线性电路混沌现象安验装置的研究.实验宝研究与探索,第18卷第4期 1909 3〕公云、宋向东、濮岚澜.屯学中的混沌.东北师范大学出版社,99,10 〔4〕张迮芳.叶洪柯等.非线性电路中混浊现象的模拟实验,工科理.1998年增刊 RESEARCH ON THE CHAOS PHENOMENA AND MEASUREMENT OF FEIGENBAUM CONSTANT WITH A NONLINEAR CIRCUIT Zhang yuan Di ing Lu shenlorg Fudan University, shanghai 200433 China; Abstract: This paper shows the chaos phenomena in a nonlinear cicuit and v-a character of it and gives method to measure ihe Feigenbaum Constant with this cicuit Key words: nonlinear circuit; chaos phenomena; V-A character; Feigenbaum Constarit 5 万方数据
把上表数据分三段进行线性拟合，同时根据方程 1二AV + B可得参数如下: 电压在 一0 电压在 一3 010\‘与 一2 000 V与 一9 OOOV之间 000 V之问 =0.0000188 B, =0. =0.00059 B，二0 00072976 、,)0406 001877 r1=0. r， =0. ..‘ ， - A A 电压在 一 」兰式中 A, 10.000V与一11.400V之间A3 =0.021 B,r分别代表截距，斜率和线性相关系数。 B3二0. 一0. 4.3 费根鲍姆常数的测量 费根鲍姆常数是非线性代数中十分重要的常数，它是对“虫口模型”方程无穷次迭代 的结果(数学上可严格证明)。 本实验对上述用非线性电路测量费根鲍姆常数的方案进行了厂复实验。最终笔者选 择了发生倍周期分岔时，非线性电阻两端的电压。作为参数几“ 。当刚出现两个分岔时， A,,;二7.372V，出现四个分岔时A, = 7.2.50V，八个分岔时A u3二7.223V。故: S二(Au;一久。2)/(几。:一AO) = (7.372一7.250)/(7.250一7.223)=4.519 由于实验仪器的:一灵制，很难观察到更高倍数的周期分岔，但非常幸运的是做了 n次 实验测量，结果与常数4.6692却比较接近，这使实验者相信费根鲍姆常数的正确性。可 以By:;言，随 。增大61 .rx.将向理想费根鲍姆常数 tci近(〕 参 考 文 献 葛真、徐云段、渝龙 . 王柯、田真、陆申龙 . 1:吟 徐云、宋向东、浪岚斓 张连芳 .叶洪柯等 . 非线性电路及混沌 .重庆大学瓦版社,1<, '89 非线性电路混沌现象买验装置的研充 .实验室研究与探索，第 18卷第4期， 、 . J ‘e s 沪 1 孟 八乙 砂 . k je 、 .电学中的混沌 .东北师范大学出版社，1 非线性电路中混浊现象的模拟实验 工科 999,10 物理 .1998年增刊 、 1 . J l r e 户j 4 f . ‘ 声.. .‘ RFREARCH OIL' THE CHAOS PHENOMENA AND MEASUREMENT OF FEIGEN'BAJM CONSTANT WITH A NON'LLNEAR CIRCUIT Zhan (Sudan g yuan Di ming University, Shanghai 助 shenlong 200433 China) Ahstrjct:11iis paper shows the chaos phenomena in a nonlinear measure the Feigenbaum Comitant with this cicuit. and V一A character of it and俘vesa method to K盯wonds:no山nearcircuit;chaos phenomena; V一A character; Feigenbaum Consta. 万方数据