第八章微分方程 第二节一阶微分方程 、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
第八章 微分方程 第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
、 可分离变量的微分方程 形如 f(x)g() 或 g(y)dy =f(x)dx dx 称为可分离变量的微分方程， 例如少=2x2y d 今y5=2x2&, 解法设函数g(y)和f(x)是连续的， ∫g)b=∫f(x) 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原 函数， G()=F(x)+C 为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 称为可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的原 函数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. ( ) ( ) dy f x g y dx 形如 =
例1求解微分方程 -2 dx 的通解。 解 分离变量 dy=2xdx, 2 两端积分： 哈2 :-1x2+C 整理得： 1 +X-2X十X= V=- x2+C 经检验上式为所求的通解
例1 求解微分方程 解 分离变量 2 2 , dy xdx y = 两端积分: 2 2 , dy xdx y = 经检验上式为所求的通解 2 2 dy xy dx = 的通解。 得: 1 2 x C, y − = + 整理得: 2 1 y x C = − +
第二节 阶微分方程 例2求微分方程x(1+y)-1+x2)d=0 的通解 解：分离变量得： 1+= +r2 两边积分得：ln(1+y2)=ln(1+x2)+lnC 即：其通解为 1+y2=C1+x2)
第二节 一阶微分方程 例2 求微分方程 的通解 2 2 x y dx y x dy (1 ) (1 ) 0 + − + = 解:分离变量得: 2 2 1 1 y x dy dx y x = + + 两边积分得： 2 2 ln(1 ) ln(1 ) ln + = + + y x C 即：其通解为 2 2 1 (1 ) + = + y C x
例3 求微分方程 dx =y2cosx满足ylk0=1的特解 解：把方程分离变量，得 dy cos xdx 两边同时积分得方程的通解为 Sinx+C 将 ylo=1,代入可得：C-1 即：所求的特解为 1-sinx
例３ 求微分方程 2 cos dy y x dx = 0 | 1 x y 满足 的特解. = = 解：把方程分离变量，得 2 cos dy xdx y = 两边同时积分得方程的通解为 1 sin x C y − = + 将 0 | 1, x y = = 代入可得:C=-1 即：所求的特解为 1 1 sin y x = −
例4设降落伞下落后，所受的空气阻力与 速度成正比，并设降落伞离开塔时 (t=0)速度为零，求降落伞下落速度与时 间的函数关系。 解：设降落伞下落速度为v(t),降落伞在空中 下落时，同时受到重力与空气阻力的作用，重力 为mg,方向与V一致：阻力为m(k为 比例系数)，方向与V相反，故降落伞所受的外 力为F=mg-ky 又因为： F=ma a=t 而 dt
例４ 设降落伞下落后，所受的空气阻力与 速度成正比，并设降落伞离开塔时 （t＝0）速度为零，求降落伞下落速度与时 间的函数关系． 解：设降落伞下落速度为 ，降落伞在空中 下落时，同时受到重力与空气阻力的作用，重力 为 ，方向与 一致；阻力为 （ 为 比例系数），方向与 相反，故降落伞所受的外 力为 v t( ) mg v kv k v F mg kv = − 又因为： F ma = dv a dt 而 =
v 故m =mg-kv 分离变量得： dv dt 其中：一y0=0 mg-kv m 两边积分 d mg-kv J m 得-ln(mg-m)=+C -kC 即：mg-w=em 或 mg+Ce m (其中C=- 把初始条件代入得 C=- mg +-2X 衣 故所求的特解为 V=
故 dv m mg kv dt = − 0 | 0 t v 其中: = = 分离变量得： dv dt mg kv m = − 两边积分 1 1 ln( ) dv dt t mg kv C mg kv m k m = − − = + − 得 即： 1 k t kC mg kv e m − − − = 或 1 ( ) k kC t mg e m v Ce C k k − − = + = − 其中 把初始条件代入得 mg C k = − 故所求的特解为 (1 ) k t mg m v e k − = −
二、齐次方程 1.定义 形如么的微分方程称为齐次方程 2.解法 作变量代换M=少， 即y=x， 少 du =u+x dx d 代入原式 du=f(u), u+x 即 du f(u)-u +X-2X+X= dx +X= 可分离变量的方程
二、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
例5求方程+x2 y 的通解 dx dx 解：原方程可化为 少y2 X d xy-x2 设 y=4,即y=,则 dy du =u+x d dx 故： du u u+x dx u-1 分离变量得：l-du= 两边积分得：u-lnu+c=lnx 以y=u代入得 In y= y+C
例5 求方程 的通解. 2 2 dy dy y x xy dx dx + = 解:原方程可化为 2 2 2 ( ) 1 y dy y x dx xy x y x = = − − 设 , , y dy du u y ux u x x dx dx = = = + 即 则 故: 2 1 (1 ) 1 du u dx u x du dx u u x + = − = − 分离变量得： 两边积分得：u u c x − + = ln ln : ln y y u y C x x 以 代入得 = = +
例6 求解方程 dx 解 令u=Y,即y=x,则 du =u+x x dx 于是原方程变为 du =2Vu dx 显然=0是方程的一个解，相应的y=0是原方程的一个解， 若u≠0，分离变量得d= 两边积分得 √G=lnx+lnCx+y 把上=u代入得通解为 y=x(In Cx)2
6 2 : dy y y dx x x 例 求解方程 ＝ + 解 y u= , , x dy du y ux u x dx dx 令 即 则 = = +2 du x u dx 于是原方程变为 = 0 2 u du dx u x = = 显然 是方程的一个解,相应的y=0是原方程的一个解, 若u 0,分离变量得 两边积分得 u = + ln ln x C 2 : (ln ) y u x y x Cx = = 把 代入得通解为