第八章 微分方程 第三节：可降阶的高阶微分方程 一、ym=f(x)型的微分方程 二、y”=f(x,y型的微分方程 三、y”=f(y,y)型的微分方程
第八章 微分方程 第三节:可降阶的高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 ( ) ( ) y f x n = y = f (x, y ) y = f ( y, y )
、y”=f(x)型的微分方程 特点： 右端仅含有自变量 解法： 把y”作为新的未知数，则上式就是新未 知数得一阶微分方程。两边积分得： y-=∫fx)c+C 同理可得：ym-2)=f(x)+C们k+C 依次类推，得到含个任意常数得通解
解法： 特点： 右端仅含有自变量x 一、 型的微分方程 把 作为新的未知数，则上式就是新未 知数得一阶微分方程。两边积分得： (n−1) y 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 同理可得： 依次类推，得到含n个任意常数得通解 ( ) ( ) y f x n = ( 2) 1 2 [ ( ) ] n y f x dx C dx C − = + +
例1求微分方程"=e2x-cosx的通解 解 对所给方程接连积分三次，得 "Ie-simx+C 2 y=+cx+Cx+C: 4 sing+CC+C
例1 cos . 求微分方程y = e 2x − x的通解 解 对所给方程接连积分三次，得 y e x C x = − sin + 2 1 2 2 2 cos 4 1 y e x Cx C x = + + + 2 3 2 1 2 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + + = 2 1 C C
二y"=f(c,y）型的微分方程 特点： 右端不含示知数y 解法： 令y'=p 则=史-p 从而原方程成'=f(x,p) 四会x解其通解为=（七G 对其进一步积分，得到原方程得通解为 y=p(x,C)dx+C2
令y = p p dx dp 则y = = 特点： 解法： 从而原方程成为p = f (x, p) ( , ) 解其通解为p = x C1 ( , ) C1 x dx dy 即 = 对其进一步积分，得到原方程得通解为 1 2 y = (x,C )dx +C 二、 y = f (x, y ) 型的微分方程 右端不含示知数y
例2 解方程y"+二y'=0 解 令y'=p,则y"=p',原方程为 2 p'+二p=0 分离变量后，解得 即 dy_C 再积分一次，得原方程的通解为
2 2 '' ' 0 y y x 例 解方程 + = 解 令y p y p ' , '' ', = = 则 原方程为 2 p p ' 0 x + = 分离变量后,解得 1 2 C p x = 1 2 dy C dx x 即 = 再积分一次,得原方程的通解为 1 2 C y C x = −
例3求微分方程1+x2)y”-2y满足初始条件 。=1,y1=3的特解. 解设y=P,代入方程并分离变量有中-，2x p1+x2 两端积分，得np=ln(1+x)+C 即p=y=C1+r)(C=)由条件y。=3,得C=3, 所以y=31+x)两端再积分，得y2x3+3x+C, 又由条件y。=1,得C,=1 于是所求得特解为y=x3+3x+1
例3 求微分方程 (1+ x ) y = 2xy 2 满足初始条件 1, 3 0 0 = = x= x= y y 的特解. 解 设y = p,代入方程并分离变量得 dx x x p dp 2 1 2 + = 两端积分，得 ln p = ln(1+ x ) + C 2 即 (1 ) 2 1 p = y = C + x ( ) 1 c C = e 由条件y x=0 = 3,得 3, C1 = 所以 3(1 ). 2 y = + x 两端再积分，得 2 3 y = x + 3x +C 又由条件y x=0 = 1,得 1, C2 = 于是所求得特解为 3 1 3 y = x + x +
三、y”=f(y,y型得微分方程 特点：整个方程不显含自变量 解法：令y'=p则由复合函数得求导法则，得 y=业_业=p四 dc少k 故原方程就成为P率-0月)2 此方程为变量、p得一阶微分方程，其通解为 y=P=0G故通解为cx4G
特点： 整个方程不显含自变量x 解法： 令y = p 则由复合函数得求导法则，得 dy dp p dx dy dy dp dx dp y = = = 故原方程就成为 f ( y, p) dy dp p = 此方程为变量y、p得一阶微分方程，其通解为 ( , ), C1 y = p = y 故通解为 2 1 ( , ) x C y C dy = + 三、 y = f ( y, y ) 型得微分方程
例4 求方程y"=y3的通解 、dp 解 令p则=p架原方程变为P或剂 1 分离变量得 pdp =y 'dy 积分得 p=±1Cy-1即 d d 分离变量后积分得所给方程的通解为 Cy2-1=±Cx+C2
3 4 '' . y y − 例 求方程 = 的通解 ', '' , dp p y y p dy 解 令 = = 则 原方程变为 dp 3 p y dy − = 分离变量得 3 pdp y dy − = 2 1 1 p C y 1 y 积分得 = − 2 1 1 1 dy C y dx y 即 = − 分离变量后积分得所给方程的通解为 2 1 1 2 C y C x C − = + 1
例5求方程y”-y2=0的通解 解 设y=p0%则=p严 代入原方程得P-p2=0,即P心 -P)=0, d山y 由P-P=0, 可得P=Cy, 少 =Ciy, 1+X-2X十X= d Xi+X 原方程通解为
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 C x 原方程通解为 y = C e , 1 C y dx dy = 例5
小结 1y)=f(x)型的微分方程的解法 2、y”=fx,)型的微分方程的解法 3y”=fy,y)型的微分方程的解法
小结 1、 型的微分方程的解法 2、 型的微分方程的解法 3、 型的微分方程的解法 y = f (x, y ) y = f ( y, y ) ( ) ( ) y f x n =