第一节中值定理 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
第一节 中值定理 一 拉格朗日中值定理 二 拉格朗日中值定理
、 拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数fx) (1)在闭区间 上连续； (2)在开区间 内可导， 那末在 内至少有一点 使等式 成立 2X+X 结论亦可写成(b)-@ b-a =f'()
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) (1) 在闭区间 [a,b] 上连续; (2) 在开区间 (a,b) 内可导, 那末在 (a,b) 内至少有一点 (a b) ，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ). ( ) ( ) f b a f b f a = − − 结论亦可写成 一、拉格朗日(Lagrange)中值定理
几何解释： 在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 线平行于弦AB y=f(x) M 2004-4-10
a 1 b2 o x y y = f (x) A B C D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 2004-4-10
拉格朗日中值公式的几种表达形式 1)f(b)-f(@)=f'(5)b-a) (在与b之间 2)f'(5)=J)-f@) (在a与b之间 b-a 2004-4-10
拉格朗日中值公式的几种表达形式 1) f (b) − f (a) = f ( )(b − a) b a f b f a f − − = ( ) ( ) 2) ( ) (在a与b之间) (在a与b之间) 2004-4-10
例1f(x)=x2=x-5在[1,3]上满足拉格朗日中值定理， 并求出定理中的数值ξ 解f(x)=x2-x-5是二次函数， 所以它满足拉格朗日中值定理条件， 即f(x)在[1,3]上连续，在(1,3)内可导， 故在(1,3)内存在点5，使得 f(3)-f(I)=f'(5)3-1) ·.1-(-5)=(25-1)2 5=2
2 1 ( ) 5 [1,3] . f x x x 例 = − − 在 上满足拉格朗日中值定理, 并求出定理中的数值 2 ( ) 5 , f x x x 解 = − − 是二次函数, 所以它满足拉格朗日中值定理条件, 即f(x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导, 故在(1,3)内存在点 使得 fff (3) (1) ( )(3 1) − = − − − = − 1 ( 5) (2 1) 2 = 2
例2证明：当x>0时， x<lnl+)← 1+ 证 设f(x)=ln(1+x), f(x)在0，x上满足拉氏定理的条件， f()-f0)=f'(传)(x-0),(0<<x) f0=0,f09=1+x 1 .ln(1+x)-0=f'(5)x 由上式得n(1+=1+ 又.：0<ξ<x→1<1+ξ<1+x 1+x1+ 1+x1+ξ 即，x<1nl+y)<x 1+x
例2 0 , ln(1 ) . 1 x x x x x + + 证明:当 时 证 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ()(x − 0),(0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 1 1+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即 + − = ln(1 ) 0 ( ) x f x
拉格朗日中值定理的推论 推论1设函数f(x)在区间(a,b)内每点处导数都等于零 则f(x)在区间(a,b)内恒等于常数 证明设x,<x2,且在区间(a,b)内 则由拉格朗日中值定理可得 f(x)-f(x2)=f'(5)x-x2), .5∈(x,x2)c(a,b) ∴'(5)=0 f(x)=f(x2) fx)恒等于常数
二 拉格朗日中值定理的推论 ( ) ( , ) , ( ) . f x a b f x 设函数 在区间 内每点处导数都等于零 则 在区间(a,b)内恒等于常数 证明 推论1 1 2 设x x a b , ( , ) 且在区间 内 则由拉格朗日中值定理可得 1 2 1 2 f x f x f x x ( ) ( ) ( )( ), − = − 1 2 ( , ) ( , ) x x a b = f ( ) 0 1 2 = f x f x ( ) ( ) f x( ) . 恒等于常数
推论2设函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内可导， 且有f'(x)=g'(x),则在(a,b)内有 8(x)=f(x)+c(c为一常数) 证明设函数h(x)=g(x)-f(x) .h'(x)=g'(x)-f'(x) .h(x)=0.h(x)=c +X-2X十X= .8(x)-f(x)=c -X+X=0 ∴.g(x)=f(x)+c
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ) ( ) ( f x g x a b f x g x a b g x f x c c = = + 设函数 与 在区间 内可导, 且有 则在 内有 为一常数) 推论2 证明 设函数h x g x f x ( ) ( ) ( ) = − = − h x g x f x ( ) ( ) ( ) = h x ( ) 0 = h x c ( ) − = g x f x c ( ) ( ) = + g x f x c ( ) ( )
证明aresin+areo-Hk 证●设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈(-l,l) 1 ∴.f(x)≡C,x∈(-1,1) 又~f0)=arcsin0+arccos(0=0+T-元， 22 即c- +X-2X#X ∴.arcsin x+arccosx=
例 3 arcsin arccos ( 1 1). 2 x x x 证 明 + = − 证 设 f x x x x ( ) arcsin arccos , ( 1,1) = + − ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − − = = 0. − f x C x ( ) , ( 1,1) 又 f (0) = arcsin0 + arccos0 2 0 = + , 2 = . 2 即C = . 2 arcsin arccos x + x =
课堂小结 1、中值定理 2、中值定理的推论 课堂练习P-64
课堂小结 1、中值定理 2、中值定理的推论 课堂练习 P-64