第一章函数 第一节函数概念 第二节反函数基本初等函数复合函数 第三节分段函数简单函数图形的组合与变换
第一节 函数概念 第二节 反函数 基本初等函数 复合函数 第三节 分段函数 简单函数图形的组合与变换
第一节 函数概念 一、函数概念 1.定义 设有两个变量和y,D是一个非空实数集合如果对任 一个X∈D,按照某一确定的法则，都可以确定y的一个相 应值，我们称y是定义在D上的变量X的函数，记为： y=f(x) x∈D X称为自变量，y称为因变量
第一节 函数概念 一、函数概念 1.定义 设有两个变量 和 , 是一个非空实数集合.如果对任 一个 ,按照某一确定的法则,都可以确定 的一个相 应值,我们称 是定义在 上的变量 的函数,记为: 称为自变量, 称为因变量. x y D xD y y D x y = f (x) x D x y
第一节 函数概念 说明： (1)y=f(x)中"f"的代表从变量X到变量y的对应法则，称 为函数关系 当自变量X取一定值时，y的相应值叫做函数值.函数y=f(x) 当x=X时的函数值，记为fx,)或x=x. 例如函数y=f)=2x2,则f0)=2或1=2 (2)在函数定义中，集合D称为函数的定义域对于D中每一个x 都对应一个确定的函数值y;所有函数值的全体叫作函数的值 域，记为M=yy=f(x),x∈D} (3)定义域的确定
第一节 函数概念 说明： (1) 中 的代表从变量 到变量 的对应法则,称 为函数关系. 当自变量 取一定值时, 的相应值叫做函数值.函数 当 时的函数值,记为 或 . y f x = ( ) " f " x y x y y = f (x) x = x ( ) f x x x y = 2 例如:函数 y = f (x) = 2x , 则 f (1) = 2 或 . (2)在函数定义中,集合 称为函数的定义域.对于 中每一个 , 都对应一个确定的函数值 ;所有函数值的全体叫作函数的值 域,记为 . (3)定义域的确定。 2 1 = x= y D D x y M = y y = f (x), x D
第一节 函数概念 2.邻域 以X,为中心，长度为2δ的开区间(x。-6,x。+)称 为点x,的6邻域，记为U(x,) 举例说明
第一节 函数概念 2.邻域 以 为中心,长度为 的开区间 称 为点 的 邻域,记为 . 举例说明. x 2 ( −, +) x x x ( ,) U x
第一节 函数概念 3.函数的二要素 定义域和对应关系是确定函数关系的两个要素 例1y=arcsin(2+x2) 此例的定义域是空集，因此不是函数关系 例2y=x与y= 一是否相同. y=的定义装点(-0十四）y=的定又数是x0 的全体实数，两函数的定义域不一样，因此两个函数不是同一个函数
例3 f (x) = 1 与 x x x 是否相同. 2 2 ( ) = sin + cos 两个函数的定义域都是 (−, + ) ,对应关系也一样,因 此是同一个函数. 3.函数的二要素 第一节 函数概念 定义域 和 对应关系是确定函数关系的两个要素. 例1 2 y x = + arcsin(2 ) 此例的定义域是空集，因此不是函数关系. 例2 y = x 与 x x y 2 = 是否相同. 的定义域是 , 的定义域是 的全体实数,两函数的定义域不一样,因此两个函数不是同一个函数. y = x (−, + ) x x y 2 = x 0
第一节 函数概念 二、函数的图象 设函数y=f(x)的定义域为D,对于任取定的x∈D,对应 的函数值y=f(x).这样，以X为横坐标、为y纵坐标就在xOy 平面上确定一点(x,y).当x遍取D上的每一个数值时，就得到 点(x,y)的一个集合C: C={《x,yy=fx,xeD} 这个点集C称为函数y=f(x)的图象
二、函数的图象 第一节 函数概念 设函数 的定义域为 .对于任取定的 ，对应 的函数值 .这样，以 为横坐标、为 纵坐标就在 平面上确定一点 .当 遍取 上的每一个数值时，就得到 点 的一个集合 : . 这个点集 称为函数 的图象. y = f (x) D xD y = f (x) x y xOy (x, y) x D (x, y) C C = (x, y) y = f (x), x D C y = f (x)
第一节 函数概念 三、函数的几种特性 1.奇偶性 定义给定函数y=f(x)x∈D,D为对称区间： ()如果对任意∈D有f(-x)=f(x),则称(x)为偶函数 (2)如果对任意x∈D有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的关于原点对称如图1-1所示 y y个 y=f(x) y=f(x) X 注意奇偶函数的定义域一定关于原点对称的，否则奇偶性无从谈起
第一节 函数概念 三、函数的几种特性 y = f (x) x D D xD xD f (−x) = f (x) f (−x) = − f (x) f (x) f (x) y 1.奇偶性 定义 给定函数 , 为对称区间: (1)如果对任意 有 ,则称 为偶函数. (2)如果对任意 有 ,则称 为奇函数. 偶函数的图象关于 轴对称,奇函数的关于原点对称.如图1-1所示. 注意 奇偶函数的定义域一定关于原点对称的，否则奇偶性无从谈起
第一节 函数概念 例4判断了=的奇偶性 解 y=的定义城为(-0U0+0),是对称区间，且 八动=上--国，所以y=为奇函数 -xx 练习：习题1-1中的第4题 2.单调性 定义设函数y=f(x)的定义域为D,区间IcD,若对I上任意两点x,和x,, 当xfx,)],则在区间1内fx)是单调增 加（或单调减少）的 注意(1)说函数单调必须指明函数所在区间 (2)单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数；所在区间统称为单调 区间
第一节 函数概念 例4 判断 的奇偶性. 解 的定义域为 , 是对称区间 , 且 , 所以 为奇函数. x y 1 = x y 1 = (−,0) (0,+ ) ( ) 1 1 ( ) f x x x f x = − = − − − = x y 1 = 练习: 习题 1-1中的第4题. 2.单调性 定义 设函数 的定义域为 ,区间 ,若对 上任意两点 和 , 当 时, 有 [或有 ],则在区间 内 是单调增 加（或单调减少）的. 注意 (1)说函数单调必须指明函数所在区间. (2)单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数;所在区间统称为单调 区间. y = f (x) D I D I 1 x 2 x 1 2 x x ( ) ( ) 1 2 f x f x ( ) ( ) 1 2 f x f x I f (x)
第一节 函数概念 3.周期性 定义设函数y=fx),若存在正数T使得f(x+T)=f(x)恒成立，则称 此函数为周期函数，满足这个等式的最小正数称为函数的周期。 4.有界性 定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若存在一个正数M,对任意 xe(a,b)的，恒有f(x)≤M,则称函数(x)在(a,b)上有界，如果这样的M不 存在，则称(x)在(a,b)上无界. 注意：说函数有界也必须指明区间 举例说明：函数y=sin在区间(0，+0)止的有界性；函数y=1在(0,2)上 和在几，+0寸的有界性
第一节 函数概念 T 3.周期性 定义 设函数 ,若存在正数 使得 恒成立,则称 此函数为周期函数,满足这个等式的最小正数称为函数的周期. y = f (x) f (x + T) = f (x) y = f (x) (a,b) x (a,b) f (x) M f (x) (a,b) M M f (x) (a,b) y = sin x (−, + ) x y 1 = (0,2) [1,+ ) 注意: 说函数有界也必须指明区间. 举例说明:函数 在区间 上的有界性;函数 在 上 和在 上的有界性. 4.有界性 定义 设函数 在区间 上有定义,若存在一个正数 ,对任意 的,恒有 ,则称函数 在 上有界,如果这样的 不 存在,则称 在 上无界
第一节 函数概念 小结1.函数的概念，二要素 2.函数的图象」 3.函数的特性 作业习题1-1第1,4题
第一节 函数概念 小结 1.函数的概念,二要素. 2.函数的图象. 3.函数的特性. 作业 习题1-1 第1,4题