黄河水利职业技术学院 课件 函数的微分_高等数学第一单元

第五节函数的微分 微分概念 二、微分的几何意义 三、微分公式和法则 四、微分在近似计算中的应用

一、微分概念 二、微分的几何意义 四、微分在近似计算中的应用 第五节 函数的微分 三、微分公式和法则

一、 微分概念 1、引例 块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由Xo变到x,+△x(如图)，问此薄片的面积 改变了多少？ (△ 设边长由x变到x。+△x, 水A 正方形面积A=x2, .AM=(x0+△)2-x A=xo =2x·△x+(△x)2 )2 (2)

一、微分概念 1、引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？ 0 x x0 + x 2 A = x0 0 x x0 x x 2 (x) x0x x x 0 , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) (2)

():△x的线性函数且为A4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略 一般地，如果函数x)满足一定条件，则函数的增量△y可表示 △y=A△x+0(△x) 其中A是不依赖于△x的常数，因此A△x是Ax的线性函数，且它与 Ay之差 △y-A△x=O(△x) 2 是比△x高阶的无穷小，所以，当A≠0，且△x很小时，我们就可 以近似地用A△x来代替△y

x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): 一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示 为 y y = Ax + o(x) 其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差 x Ax x y y − Ax = o(x) 是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替 x A 0 x Ax y

定义设函数=fx)在某区间内有定义，x,及x,+△x在 这区间内，如果函数的增量 Ay=f(x+△x)-f(x) 可表示为 △y=A△x+O(△x) 其中A是不依赖于△x的常数，而o(△c)是比△x 高阶的无穷小，那么称y=x)在点xo是可微的， 而A△x叫做函数yx)在点x,相应于自变量增 量△x的微分，记作dy,即少=A△x

定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在 这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 是可微的， 而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增 量 的微分，记作dy，即 0 x x0 + x ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f y = Ax + o(x) o(x) 0 x Ax 0 x dy = Ax x x x

由定义知 (①)是自变量的改变量△x的线性函数 (2)△y-=o(△x)是比△x高阶无穷小； (3)当A≠0时，山与△y是等价无穷小 -1+A0→1(4→0 A·△x (4)A是与△x无关的常数但与f(x)和c。有关； (⑤)当△x很小时，△y≈（线性主部

(1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A  0时,dy与y是等价无穷小; dy y  A x o x    = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (5)当x很小时,y  dy (线性主部). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 由定义知:

定理：x)在x,可微的充分必要条件是x)在x,处 可导，且当fx)在点x。可微时，其微分一定是 y=f'(x)△x 证明(1)必要性f(x)在点x,可微， .△y=A·△x+0(△x),. A=4+(A) △x △x xi> 则im Ay=A+lin △x→0△ Ax→0△x 即函数f(x)在点x,可导，且A=f'(x。)

定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是 0 x 0 x 0 x dy = f (x0 )x (1) 必要性 ( ) ,  f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y   = +    x o x A x y x x   = +    →  → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f  x 证明

(2)充分性函数f(x)在点x可导， 恕f人即知=f+a 从而△y=f'(xo)△x+(△x),o→0（△x-→0）， =f'(x)△x+o(△x), .函数f(x)在点x可微，且f'(x)=A .可导台可微 A=f(xo)

( ) ( ), 从而 y = f  x0  x +  x ( ) , =  0 +    f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x =      →  → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f  x0  x + o x 0 0  = 函数 f x x f x A ( ) , ( ) . 在点 可微 且  . ( ). 0 可导 可微 A = f  x (2) 充分性

例1求函数=x2在x=1和x=3处的微分 解 函数y=x在x=1处的微分 =(x2)xa1△x=2△x; 在x=3处的微分 =(x2)x=3△x=6△x 例2求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解 少=(x)'△x=3x2△x.-2X+ =3ra=024

例 1 求函数y = x 2 在x = 1 和x = 3处的微分 解 函数y = x 2 在x = 1处的微分 ( ) 2 ; 1 2 dy = x  x = x = x 在 x = 3处的微分 dy = (x ) x=3x = 6x 2 例 2 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当x = x = 时的微分 解 dy = ( x )x 3  3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3  ==  =  = =  xx x dy x x x = 0 .24

函数y=∫(x)在任意点的微分 称为函数的微分， 记作dw或df(x), 即dy=f'(x)△x

( ) , , ( ), ( ) . y f x x dy df x dy f x x = =   函数 在任意点 的微分 称为函数的微分 记作 或 即

通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分 记作d,即dc=△x. ∴.y=f'(x)k.→ =f'(x d 即函数的微与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也叫中微商

dy = f (x)dx. f (x). dx dy =  该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 , . , dx dx x x x =   记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分