第二节体积 一、 平面截面面积为已知的 立体的体积 二、旋转体的体积
第二节 体积 一、平面截面面积为已知的 立体的体积 二、旋转体的体积
、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做 旋转轴. 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 二、旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=a、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为此， y=f(x) x∈[a,b] 在a,b]上任取小区 间K,x+x], 取以水为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素，dV=f(x)c 旋转体的体积为 V=∫uf(x
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
例1连接坐标原点O及点P(,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋 转构成一个底半径为、高的圆锥体，计算 圆锥体的体积。 解直线OP方程为 y-R 取积分变量为r,x∈0，] 在0，]上任取小区间[x,x+c]
y 例 1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为
以心为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 0 圆锥体的体积 --[
以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o
202 例2求星形线x3+y3=3(a>0)绕轴旋转 构成旋转体的体积。 解=- xEl-a,al 旋转体的体积 小品
− a a o y x 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x=p(y)、直线y=c、y=d及轴所围 成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体， 体积为 V-πo('d
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )] = d c V
例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) 的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴 旋转构成旋转体的体积， 解绕x轴旋转的旋转体体积 y(x) V=∫(x)k a(1-cost)a(1-cost)dt =πm32(1-3c0st+3c0s2t-cos3t0dt=5元2a3
例 3 求摆线 x = a(t − sin t)， y = a(1 − cos t) 的一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a a 2a y(x)
绕y轴旋转的旋转体体积 _x=x2(y) 可看作平面图OABC与OBC =x) 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差 Y,=πxy)-πx) a'(t-sint)asinidt 元0d(u-sin)2.asintd 元m3(u-sin)2sinM=6元r
绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dy a y ( ) 2 2 0 2 = x y dy a ( ) 2 2 0 1 − o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a
补充如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，体积为 y=2πfx|fx)1d 利用这个公式，可知上例中 V,=2nxf(x)Ide "a(-sin )a-cos )datt-sin) =2xa[(t-sint)(1-cost)'dt =6na
补充 如果旋转体是由连续曲线y = f ( x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( ) | = 利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( ) | 2 0 = = − − − 2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)] = − − 2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 = a