第一节导数概念 一、 引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系
第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系
一、引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图，求t时刻的瞬时速度， 取一邻近于t的时刻t,运动时间△t, △t 平均速度=A=-=号化，+0 △tt-t2 当t→t,时，取极限得 瞬时速度v=im,+D=g 2 变速直线运动：路程对时间的导数为物体的瞬时速度 △s_ ()d
一、引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题 0 t t t 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 g t t . g 0 瞬时速度 t 0 当 t t 时, 如图,求t0时刻的瞬时速度, t, t s v 0 0 t t s s ( ). 2 0 t t g 平均速度 取一邻近于t0的时刻t, 运动时间 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. ( ) lim . 0 dt ds t s v t t
2.曲线的切线 割线的极限位置一一切线位置 60 50 40 30 20 10 1.25 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3
2.曲线的切线 割线的极限位置——切线位置
y 如图如果割线MN绕点M y=f(x) 旋转而趋向极限位置MT,直 线MT就称为曲线C在点M处 的切线 极限位置即 MN-→0，∠NMT→0. 0 Xo xx 设M(xo,o),N(,y). 割线MN的斜率为tanp='-a=f()-f) x-xo x-xo N沿曲线C→M,x→x0, 切线T的斜率为k=ana=limf()-f,). x→x0
T 0 o x x x y y f ( x) C N M 如图 如果割线MN绕点M 旋转而趋向极限位置MT,直 线MT就称为曲线C在点M处 的切线. 极限位置即 MN 0,NMT 0. , , 0 N M x x 沿曲线C ( , ), ( , ). 0 0 M x y N x y 0 0 tan x x y y , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x 设 割线MN的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x 切线MT的斜率为
二、导数的定义 1函数在一点处的导数与导函数 定义设函数y=∫(x)在点x的某个邻域内 有定义，当自变量x在x处取得增量△x(点 x。+△x仍在该邻域内)时，相应地函数y取 得增量△y=f(x。+△x)-f(xo;如果△y与 △x之比当△x→0时的极限存在，则称函数 y=f(x)在点x,处可导，并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数，记为y 或
二、导数的定义 定义 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ); 0 ( ) ( ) , x x y f x x x x x x x y y f x x f x y x x y f x x y f x x y 设 函 数 在 点 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 , 当 自 变 量 在 处 取 得 增 量 点 仍 在 该 邻 域 内 时 , 相 应 地 函 数 取 得 增 量 如 果 与 之 比 当 时 的 极 限 存 在 , 则 称 函 数 在 点 处 可 导 , 并 称 这 个 极 限 为 函 数 在 点 处 的 导 数 , 记 为 1 函数在一点处的导数与导函数 0 x x dx dy 或 , ( ) 0 x x dx df x
即 m A=lim(Ax)-( y==mA △r-→0 △x 其它形式 (x)=lim)-f(xo) h (x)=lim)-f() x-Xo
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x x f x x f x x y y x x x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 即 0
关于导数的说明： ★点导数是因变量在点x处的变化率，它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度， ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导
慢程度. 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 ( ) . ( ) 处都可导, 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y f x I 关于导数的说明： ★ ★
★对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数f(x)的导函数. 记作f在或 dx 即 y'=lim f(x+△x)-f(x) △x-0 △x 或 f(x)=lim f(x+h)-f(x) 1→0 h 注意： 1.f'(x)=f'(x)x=:
. ( ) , ( ), ( ) , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值.这个函数叫做 原来函数 的导函数. 对于任一 都对应着 的一个确定的 注意: 1. ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x ★ . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h x f x x f x y x ( ) ( ) lim 0 即 或
导数的几何意义 fx表示曲线y=f) 在点M(,f(x)处的 y=f(x) 切线的斜率，即 f'(o)=tana(a为倾角) M a: 0 切线方程为 y-yo=f(xo)(x-xo). 法线方程为 y-yo=- f'(xo)
导数的几何意义 o x y y f (x) T 0 x ( 为倾角) M 切线的斜率,即 在点 处的 表示曲线 f x tanα α x f x f (x ) y f(x) 0 0 ( ) M( , ( )) 0 0 切线方程为 ( )( ). 0 x0 x x0 y y f 法线方程为 ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y
单侧导数 1.左导数： ()=lim ()=lim Ax)-f( x→xo-0 x-xo △ 2.右导数： f (xo)=lim fx)-fx）=lim f(x,+△x)-f(x) x-→xo+0 x-xo △r→+0 △x 函数 在点 处可导 左导数 导数 都存在且相等
单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x 2.右导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x ★