数列极限的定义 概念的引入 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣” 一刘徽 +X-2X十X
一、数列极限的定义 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 概念的引入
正六边形的面积A 正十二边形的面积A, 正6×2"-1形的面积A, A1,A2,A3,…,An)…→S
R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
数列的概念 定义：如果按照某一法则，对每个n∈N+,对应着一个确定 的实数，，这些实数按照下标从小到大排列得到的 个序列 X13X23X3)Xn, 就叫做数列，简记为数列xn} 数列中的每一个数叫做数列的项，第项飞，叫做数列的 一般项， 例如 2,4,8,…,2”,…{2"} 111 2'4'8 2n
数列的概念 定义:如果按照某一法则,对每个 ,对应着一个确定 的实数 ,这些实数 按照下标n从小到大排列得到的一 个序列 + n N n x n x x1 , x2 , x3 , xn , 就叫做数列,简记为数列 xn . 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的 一般项. n x 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n
1,-1,1,,(（-10"+1,;-1)” n+(-1)"-1 … + n n 注意：1数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在 数轴上依次取X1)X2),Xn,· X3 2.数列是整标函数xn=f(n),n∈N
1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } +1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在 数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x3 x x2 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n), n = . + n N
数列的极限 观察数列1+)二当n→0时的变化趋势 n 问题：当n无限增大时，xn是否无限接近于某一确定的 数值？如果是，如何确定？ 通过观察： 当无限增大时，x,=1+ 无限接近于1 问题：“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它
问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的 数值?如果是,如何确定? n n x 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察: n x n n 1 ( 1) 1 − − 当n无限增大时, = + 无限接近于1. 数列的极限 观察数列 } ( 1) {1 1 n n− − + 当 n→ 时的变化趋势
定义：设{}为一数列，如果存在常数，对于任意给定 的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当 时，不等式 都成立，那么就称常数是数列 {}的极限，或者称数列{}收敛于，记为 或 如果数列没有极限，就说数列是发散的 注意： 1.e具有任意给定性，它是描述xm与M的无限接近程度 2.N与ε有关，且不唯
定 义: 设{ xn }为一数列，如果存在常数 a ，对于任意给定 的正数 (不论它多么小),总存在正整数 N ,使得当 n N 时，不等式 x − a n 都成立, 那么就称常数 a 是数列 { xn }的极限,或者称数列{ xn }收敛于 a ,记为 lim x a, n n = → 或 x → a (n → ). n 注意： 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1.ε具有任意给定性，它是描述 xn 与 a 的无限接近程度. 2. N 与ε有关，且不唯一
函数的极限 函数极限的定义 二、函数极限的性质
函数的极限 一、 函数极限的定义 二、 函数极限的性质
、 函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义，如果存 在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存 在正数6，使得当x满足不等式00,36>0,当0<x-xo<6时有f(x)5A<8 则imf(x)=A x→C0
1、自变量趋于有限值时函数的极限 f x A x x = → lim ( ) 0 或 ( ) ( ) x A x x0 f → → 定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存 在常数A ,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存 在正数δ,使得当x 满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式，| f(x)－A|<ε那末常数A就叫做函 数f(x)当x→x0时的极限，记作 注 0, 0, 1） 语言表述 当 时有 则 − 0 x − x0 f (x) − A f x A x x = → lim ( ) 0 一、 函数极限的定义
2)0<x-x表示x≠x,∴.x→x。时f(x)有无极限与 f(x)有无定义没有关系. 3)8任意给定后，才能找到6，δ依赖于8，且6=(6) ￡越小，6越小. 4)6不唯一，也不必找最大的，只要存在即可
2） 表示 时 有无极限与 有无定义没有关系. 0 x − x0 0 0 x x , x → x ( ) x0 f f ( x) 3） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 越小， 越小. = ( ) 4） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可
几何意义如果函数fx)当xx时极限为A,以任意给定 正数ε，作两条平行于轴的直线=A+和y=A-,存在点x的δ 邻域(xo-d,x+),当x在邻域(xod,x+)内，但x时，曲线 y=x)上的点c,x)都落在两条平行线之间。 y=f(x) A
y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y o 几何意义 如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一 正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ 邻域(x0 -δ, x0+δ),当x在邻域(x0 -δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线 y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间