第二节罗必达法则 0 型及°型未定式解法洛必达法则 1 0 00 定义如果当x→a(或x→0)时，两个函数 f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无欲，那末 极限im 可能存在、也可能不在.通 xa F(x) (x-→00 常把这种极限称为或”型未定式 -2X+X 00
、 型及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 1 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极 限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 第二节 罗必达法则
定理设 (1)当x→0时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)在a点的某去心邻域内f'(x)及F'(x)都存在 且F'(x)≠0； ③)ime存在或为无穷为： →aF'(x) 那末im f()=lim f() aF(x)x→aF'(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函 数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
0 、 型未定式极限的计算 例1求lim r-0 解 原式=lim (tanx) lim sec'x =1. x→0 (x) x→0 1 例2 x3-3x+2 0 求mx-x-x+10》 解原式=lim。 3x2-3 x13x2-2x-1 +x-2X+X- 6x -X+X= lim- 16x2 3 2
例1 解 . tan lim 0 x x x→ 求 ( ) (tan ) lim 0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x→ = = 1. 例2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = ) 0 0 ( ) 0 0 ( 一、 0 型未定式极限的计算 0
π arctanx 例3求lim X→十0 1 x 1 解 原式=im 1+x2=lim- 1 x→+o1+x2 x2 例4求1im2 x-sinx x->0 解原式=lim -cosx = lim Sinx x03x2 x>06x
例3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1. 例4 解 3 0 sin lim . x x x → x − 求 2 0 1 cos lim x 3 x → x − 原式 = 1 6 = ) 0 0 ( 0 ( ) 0 0 sin lim x 6 x → x =
二)型未定式极限的计算 00 例5求Iim tanx ( tan3x'（o 解 1 原式=lim。 secx cos23x lim 3sec3.x 3 cosx 2 一 。lim 6cos3xsin3x = -2cosxsinx sin6x lim sin 2. +X-2X十X= 6cos6x =lim 2c0s2 =3
例5 解 . tan3 tan lim 2 x x x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 2 2 2 → 原式 = x x x 2 2 2 cos cos 3 lim 3 1 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 3 1 2 − − = → x x x sin 2 sin6 lim 2 → = x x x 2cos 2 6cos6 lim 2 → = = 3. ( ) 二、 ( ) 型未定式极限的计算
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好. 例6求lim tanx-x x0x2tanx 解 原式=lim tanx-x sec2x-1 =lim- x-0 x3 →03x2 lim 2sec2 xtanx tanx I -lim x→0 6x 3x→0X
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 . tan tan lim 2 0 x x x x x − → 求 3 0 tan lim x x x x − = → 原式 x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x tan lim 3 1 →0 = . 3 1 =
、0·0,0-0,0°，1°，∞°型未定式解法 关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类 型((。) 00 00 ()0o型 步骤：00→0，或00→0. 0 例7求limx2e'.（0.oo) X-2X+X 解 原式=im e x→+02X x+02 =十0
0 0 0 , ,0 ,1 , 三、 − 型未定式解法 例7 解 lim . 2 x x x e − →+ 求 ( 0 ) x e x x 2 lim →+ 原式 = 2 lim x x e →+ = = +. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类 型 ), . 0 0 ( ( ) (1) 0型 步骤: , 1 0 . 0 1 或 0 0
(2)00-0型 。11 步骤： 0-0 0-00→-- 00 0.0 例8 求lim( 1-(0-0) x-→0 sinxx 解 原式=lim x-sinx x-→0 x.sinx 1-cosx lim x>0sinx+xcosx X-2X+X =0
例8 解 ). 1 sin 1 lim( x 0 x x − → 求 ( − ) 0 1 0 1 − − . 0 0 0 0 − x x x x x sin sin lim 0 − = → 原式 x x x x x sin cos 1 cos lim 0 + − = → = 0. (2) − 型 步骤:
3)0°，1°，∞°型 步骤： 0° 0.ln0 1 取对数→ o0.ln1→0.oo. 60 0.Inoo 1+X-2X+X= -X+X=0
步骤: (3)0 0 ,1 , 0 型 ⎯⎯⎯→ 0 ln ln1 0 ln0 1 0 0 0 取对数 0
例9求limx'(0°) x→0+ 解设y=x,取对数得 In y=xInx .lim In y lim (xIn x)=0 x→0 x-→0 limx*=lim y=lim elmy x-→0+ x→0t x→0t -e0 X-2X十X=4 =1
例9 求 x x x → + 0 lim 解 设 , 取对数得 x y = x ln y = x ln x lim ln lim ( ln ) 0 0 0 = = → + → + y x x x x 0 l n 0 0 0 lim lim lim e x y e y x x x x ＝ → + → + → + = = = 1 ( 0 ) 0