第三节高阶导数 高阶导数的定义 1.如果y=f'(x)的导数存在，称为y=f(x)的二阶导数 记作：y”,1y或d dx2 dx dx 2.y”仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数y”或y 3 四阶导数y④或y dx n阶导数ym或 dx
第三节 高阶导数 1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或 y f (x) y = f (x) = 2 2 dx d y ( ) dx dy dx d y 2. y 仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， …… n阶导数 或 . y 3 3 dx d y (4) y 4 4 dx d y (n) y n n dx d y 一、 高阶导数的定义
3.fx)在x处有n阶导数，那么f"-少(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 例1=+b,求y" 解y'=a,y”=0 例2S=sin@t,求s" 解 寸=0cos0t,s”=-osin0t
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 ( ) ( 1) f x n− 4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 解 y = a, y = 0 例1 y=ax+b, 求 y 例2 s = sint, 求 s 解 2 s t s t = = − cos , sin
下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4求指数函数y=e的n阶导数 y'=ex,y"=e*,ym=ex,y(4)=ex 一般地，可得 y(m =ex, 即 (e')m=e' 例5求正弦与余弦函数的n阶导数
下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4 求指数函数 的n阶导数 x y = e 解 x x x x y = e y = e y = e y = e (4) , , , 一般地,可得 , (n) x y = e 即 x n x e = e ( ) ( ) 例5 求正弦与余弦函数的n阶导数
解 y=sinx, y=cosx=simx+2》 π y”=cosx+=sim(c+花+ 2 22 =smx+2-经 y=csc+27=sinx+3经 y9=cos(+37=sin(x+4》 一般地，可得 y)=sin(xn), 2 即 (sin x)()=cos()
解 y = sin x, ), 2 cos sin( y = x = x + ) 2 2 ) sin( 2 cos( y = x + = x + + ), 2 sin( 2 = x + ), 2 ) sin( 3 2 cos( 2 y = x + = x + ), 2 ) sin( 4 2 cos( 3 (4) y = x + = x + 一般地,可得 ), 2 sin( ( ) y = x + n n 即 ). 2 (sin ) cos( ( ) x = x + n n
用类似方法，可得 (cos x)(m=cos(x+nZ 例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数 解 y=ln(1+x),y'= 1 1+x 1 y"=- 0+少”=-12-3 +m12 (1+x)4 般地，可得 y0=(←1)-n-g (1+x)"' 即 - 通常规定0！=1，所以这个公式当1时也成立
用类似方法,可得 ). 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n 例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数 解 , 1 1 ln(1 ), x y x y + = + = , (1 ) 1 2 3 , (1 ) 1 2 , (1 ) 1 4 (4) 2 3 x y x y x y + = − + = + = − 一般地,可得 , (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 n n n x n y + − = − − 即 n n n x n x (1 ) ( 1)! ln(1 ) ( 1) ( ) 1 + − + = − − 通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立
例7 求幂级数的n阶导数公式 解 设y=x“(aeR),那么 Jy'=0a-1 y"=(0xa-1)y=0(0-1)xa-2 y"=(a(o-1)x-2'=c(a-10(a-2)xa-3 般地，可得 y=a(a-10(a-2)…(a-n+1)xa- 即(x“)m=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)xa-" 若a为自然数L,则 X-2X+X y0=(x")=,y"+）=()'=0
例7 求幂级数的n阶导数公式 解 y = x ( R), 设 那么 −1 y = x ( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x ( ( 1) ) 2 = − − y x 3 ( 1)( 2) − = − − x n n y n x − = − − − + ( 1)( 2) ( 1) ( ) 一般地,可得 即 n n x n x − = − − − + ( ) ( 1)( 2) ( 1) ( ) 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
例3求由方程y=sn(x+y)所确定的隐函数y 的二阶导数4y 2 解应用隐函数的求导方法，得 dy dx =cs(x+X01+ d d"y dx2 -sin(cos dx dx? d'y sin(x+y) cos(x+y)-1]
. 3 sin( ) 2 2 dx d y y x y y 的二阶导数 例 求由方程 = + 所确定的隐函数 解 应用隐函数的求导方法， 得 cos( )(1 ) dy x y dx = + + dy dx 2 2 2 sin( )(1 ) cos( ) dy d y x y x y dx dx = − + + + + 2 2 d y dx 2 2 3 sin( ) cos( ) 1 d y x y dx x y + = + −
x=acost 例4求由参数方程 所确定的函数的 y=bsint 的二阶导 rd'y dx 解 dy (bsint)' bcost 6 -cott dx (acost)' a(-sint)a -2X+ d-y (-cott) -b(csc2 b (acost)' a(-sint) a sin't
2 2 . d y dx x=acost 例4 求由参数方程 所确定的函数的 y=bsint 的二阶导数 ( sin ) cos cot ( cos ) ( sin ) dy b t b t b t dx a t a t a = = = − − 解 2 2 2 2 3 ( cot ) ( csc ) ( cos ) ( sin ) sin b b t t d y b a a dx a t a t a t − − − = = = − −
三、二阶导数的力学意义 物体的运动的方程s=s(t)则 v=s'(t)= ds d d's a=v'=s"(t)= dr +X-2X+X 三、巩固练习P一55 四、作业P一531、(1)(3)2、(2)
二、二阶导数的力学意义 s ( ) ds v t dt = = 物体的运动的方程 s = s(t)则 2 2 s ( ) d s a v t dt = = = 三、巩固练习P— 55 四、作业P— 53 1、（1）（3） 2、（2）