第一节不定积分的概念 与性质
第一节 不定积分的概念 与性质
一、原函数与不定积分的概念 定义妈设x)是定义在区间(a,b)上的已知函数， 如果存在一个函数F(x),使得对x∈(a,b)有 F'(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx 则称函数F(x是fx在该区间上的一个原函 数。 例 sinx)=cosx sinx是cosx的原函数. Inx)=-(x>0) Inx是在区间(0，+oo)内的原函数
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 一、原函数与不定积分的概念 定义：设 是定义在区间 上的已知函数， 如果存在一个函数 ，使得对 有 或 则称函数 是 在该区间上的一个原函 数。 f (x) F(x) (a,b) x (a,b) F(x) = f (x) dF(x) = f (x)dx F(x) f (x)
原函数存在定理： 如果函数f(x)有原函数，那么它就有无 穷多个原函数，并且任意两个原函数之间 仅相差一个任意常数。 简言之：连续函数一定有原函数 问题：()原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 例(sinx)=cosx (sinx+C)=cosx (C为任意常数)
原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 如果函数 有原函数，那么它就有无 穷多个原函数，并且任意两个原函数之间 仅相差一个任意常数。 f (x)
关于原函数的说明： (1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数， 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证：[F(x)-G(x)]=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0 ∴.F()-G(x)=C(C为任意常数)
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）
不定积分的定义： 把函数fx)的全部原函数F(x)+C(C为任意常数(x) 叫做的不定积分。记作fx)k即 f(x)dx =F(x)+C 其中记号”称为积分号，称为 被积函数本 称为被积表达式，称为积分变量， 称为积分常数。 ∫fx)d区F(x)+C 积 积 积 分号 积分变量 任意常数 式
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 把函数 的全部原函数 （ 为任意常数） 叫做的不定积分。记作 即 = 其中记号“ ”称为积分号，称为 被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分常数。 f (x) F(x) + C C f (x) f (x)dx f (x)dx F(x) + C f (x) f (x)dx x C
例1求∫sin xdx 解 (-cosx)'=sin x sin xdx=-cosx+C 例2求 3x2dx 解 (e)=3x2 [3xdx=x+C 例3求∫ 当20时 血'=(mxy=1 当x<0时妙=风-划=去← 「dk=nlx+C
例1 求 sin xdx 解 ∵ (−cos x) = sin x 例2 x dx 2 求 3 解 ( ) 3 2 x = 3x ∵ x dx = x +C 2 3 ∴ 3 例3 dx x 1 求 ∴ sin xdx = −cos x + C ∵ 当 >0时 当 <0时 x x x 1 (ln ) = (ln ) = x x x x x 1 ( ) 1 (ln ) ln( ) − = − = = − x x ∴ dx = x + C x ln 1
例4设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。 解设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 9=2x, dx 即f(x)是2x的一个原函数， .2xdx=x2+C,..f(x)=x2+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx = x + C ( ) , 2 f x = x + C 由曲线通过点（1，2） C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +
函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线， 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 d),dff()d1=fox)is, F(x)dx=F(x)+C,dF(x)=F(x)+C. 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的
函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 f (x)dx f (x), dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx, ( ) ( ) , F x dx = F x + C ( ) ( ) . dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的
二、不定积分的性质 （1)fxd]=f或dfx=fed (2)∫f'(x)=fx)+C或[df(x)=f(x)+C 三、不定积分的运算法则 法则1不为零的常数因子可以提到积分号之前，即 ∫f(x)c=kf(x)(常数k≠0) 法则2两个函数代数和的不定积分等于各个函数不 定积分的代数和，即 「[f(x)±g(xd=f(x)d±「g(x)dx
[ f (x) g(x)]dx = ( ) ( ) ; f x dx g x dx 二、 不定积分的性质 (2) f (x)dx = f (x) + C 或 df (x) = f (x) +C 三、不定积分的运算法则 法则1 不为零的常数因子可以提到积分号之前，即 kf (x)dx = k f (x)dx (常数 k 0 ) 法则2 两个函数代数和的不定积分等于各个函数不 定积分的代数和，即 （1） f (x)dx = f (x) 或 d f (x)dx = f (x)dx
四、小结 1、原函数的概念： F'(x)=f(x) 2、不定积分的概念：∫f(x)=F(x)+C 3、求微分与求积分的互逆关系 4、不定积分的性质
4、不定积分的性质 1、原函数的概念： F(x) = f (x) 2、不定积分的概念： f (x)dx = F(x) + C 3、求微分与求积分的互逆关系 四、 小结