第三节不定积分的换 元积分法
第三节 不定积分的换 元积分法
第一类换元法 问题 ∫cos2.xdx sin2x+C, 解决方法利用复合函数，设置中间变量 1 过程 令t=2x→dk=5dt, 2 cos2xdmt+C=sin2x+C. 1
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下： 设F'(w)=f(u),则f(o)du=F(u)+C. 如果u=p(x)（可微) .dF[p(x)川=fp(x)川p'(x)dk ∴.∫fp(x)p'(x)dc=FIp(xl+C =[f(w)d网n=pey 由此可得换元法定理
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
定理1第一类换元公式（凑微分法) 若」f(u)du=F(u)+C且u=p(x)可导，则 f(x)(x)dx=f(u)dul 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dr化为」Jf[o(x]o'(x)a 观察重点不同，所得结论不同
定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 若 f (u)du = F(u) + C 且 u = (x) 可导，则
例1求∫(1+2x)3d 解将dk凑成dx=。d(1+2x)则 「0+2x=J0+2xd1+2)=1+2xy°d0+2x) 变量替换 10 令u=1+2x ud-w+c国=i2+2x/+C 2 8 例 2求x+ 解 令u=7x+3 ,LdM=2nM+C代回u=7x+3号h7x+3到+C 1
例1 求 + x dx 3 (1 2 ) 解 将 dx 凑成 d x = (1 2 ， ) 则 2 1 d + x + = + + = (1+ 2 ) (1+ 2 ) 2 1 (1 2 ) (1 2 ) 2 1 (1 2 ) 3 3 3 x dx x d x x d x u du = u + C 3 4 8 1 2 1 ( + x) + C 4 1 2 8 1 例2 求 + dx 7x 3 1 + dx 7x 3 1 ( ) + + = 7 3 7 3 1 7 1 d x 解 x 令u=7x + 3 令u=1+2x 变量替换 代回u=1+2x du u C u = + ln 7 1 1 7 1 ln 7x + 3 + C 7 代回u=7x + 3 1
例3求3xedx 解j3xee-引eae+c 3e+C 例4求「cos2 xsin xd 解∫eos2 xsi ad=-∫rdu=-号r+C=3os2x+C
例3 求 xe x x d 2 3 解 xe x x d 2 3 = 2 2 2 3 e dx x e C x = + 2 2 3 例4 求 cos x sin xdx 2 解 x x x = − u u = − u + C = − x + C 3 3 3 1 3 1 cos sin d d cos 2 2 e du e C u u = = + 2 3 2 3
例5求1+e dx 解 jie-je+e=j+e+e =n(1+ex)+C ∫jn3 x(n x)'dx 解 =[In3 xd(In x)=Inx+C
dx e e x x 1+ 解 + + = e dx e x x (1 ) 1 1 例5 求 dx e e x x 1+ e C x = ln(1+ ) + 例6 求 dx x x 3 ln 解 dx x x 3 ln = ln x(ln x)dx 3 = x d x = x + C 3 4 ln 4 1 ln (ln ) (1 ) 1 1 x x d e e + + =
例7求∫n+x 解∫+= 例8求」 2 d 解 dx 2 -dx arcsin 1- a -周
例7 求 . 1 2 2 dx a x + 解 dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = + 例8 求 − dx a x 2 2 1 C a x a x a x d a x dx a = + − = − = arcsin 1 1 1 2 2 − dx a x 2 2 1 解
二、第二类换元法 问题∫x5V1-x2c=? 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程 令x=sint→x=cos tdt, ∫x5V1-x2dc=∫(sint)5V1-sin2 icosd =∫sin5tcos2tdh=. (应用“凑微分”即可求出结果)
问题 1 ? 5 2 − = x x dx 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 x = sint dx = costdt, − = x x dx 5 2 1 (sint) 1 sin t costdt 5 2 − t tdt 5 2 sin cos = = （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法
定理2（第二类换元法)如果在积别f(x)d中，令 x=p(),且p(t)单调可导，p'(t)≠0则有 ∫f(x)d=∫fo()b'()dt
定理2（第二类换元法）如果在积分 f (x)dx 中，令 x = (t) ，且 (t) 单调可导， (t) 0 则有 f (x)dx = f (t)(t)dt