第三节复合函数的求导法则
第三节 复合函数的求导法则
复合函数的求导法则 定理如果函数u=p(x)在点x,可导，而y=f(W) 在点4，=p(x)可导，则复合函数y=fIφ()在点 x可导，且其导数为 ，=fa)p1 少 即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变 量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）
二、复合函数的求导法则 定理 ( ) ( ). , ( ) , [ ( )] ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy x u x y f x u x x y f u x x = = = = = = 可 导 且其导数为 在 点 可 导 则复合函数 在 点 如果函数 在 点 可 导 而 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
推广设y=f(W),u=p(v),v=(x), 则复合函数y=f{p[yw(x)的导数为 dydy du dv dx du dy dx 例1求y=(2x+1)0的导数。 解这里把y=(2x+1)°看作由y=w和u=2x+1 复合而成的，因此 y:=(00)(2x+1片=10u°.2=20(2x+1)9
推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x = 则复合函数 = 的导数为 例1 解 求 10 y = (2x +1) 的导数。 10 y = (2x +1) 10 这里把 看作由 y = u u = 2x +1 , 复合而成的，因此 和 x u u y ( ) 10 = x (2x +1) 9 = 10u 9 2 = 20(2x +1) · ·
例2求y=Insinx的导数 解设y=ho,o=sinu,u=x, y=yoou;=(In @)'(sin u)'(x5) =1·cosw5x =5r4.C0sx5 sinx5 =5x4.cotx5 例3求y=x“(为任意实数)的导数。 解因为x“=ean,则y=eanx可由y=e“ u=ahx复合而成，于是 y;yiu;=(e")'(alnxy'=e"a =ae=as O- =ax@-1
例2 例3 5 求 y = ln sin x 的导数 y = ln = sin u 5 u = x (ln ) (sin ) ( ) 5 y = y u = u x x u x 1 = 4 (cosu)5x 4 5 5 5 4 5 cot sin cos 5 x x x x = x = 解 设 ， ， · ， 求 y = x （ 为任意实数）的导数。 解 x x e ln = x y e ln = u y = e u = ln x 因为 ，则 复合而成 ,于是 可由 , 1 l n ( ) ( ln ) − = = = = = = = x x x x e x e x y y u e x e u x u u x u x
例4求y=x+Vx2+2的导数 解y'=(x+Vx2+2)y=1+ =(x2+2)y 2x2+a 2x =1+ ==x+Vx2+a2 2vx2+a Vx2+a 例5求y=sin2(2-3x)的导数 解y'=2sim(2-3x)sm(2-3x)=2sim(2-3x).cos(2-3x(2-3x) =-3sin2(2-3x)=-3sin(4-6x)=3sin(6x-4)
例4 求 2 2 y = x + x + 的导数 解 ( ) 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 + + = + + = + x x y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 + + + = + = + x x x x x 例5 求 sin (2 3 ) 2 y = − x 的导数 解 y 2sin( 2 3x)sin( 2 3x) = 2sin( 2 − 3x) = − − ·cos(2 − 3x)(2 − 3x) = −3sin 2(2 − 3x) = −3sin( 4 − 6x) = 3sin( 6x − 4)