第三节定积分的积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
第三节 定积分的积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
定积分的换元法 定理假设 (1)f(x)在[a,b上连续； (2)函数x=p(t)在a,B]上是单值的且有连续 导数； (3)当t在区间a,B]上变化时，x=p(t)的值 在[a,b]上变化，且p(a)=a、p(B)=b, 则有∫f(x=∫fo(tp'()t
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 一、定积分的换元法
应用换元公式时应注意： (1)用x=p(t)把变量换成新变量时，积分限也 相应的改变 (2)求出f[p(t)小p'(t)的一个原函数Φ(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了
应用换元公式时应注意: （1） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变
例1计算 cos xsin xdx. 解令t=cosx, dt =-sin xdx, x= 2→t=0, x=0→t=1, cosin
例1 计算 cos sin . 2 0 5 x xdx 解 令 t = cos x, 2 x = t = 0, x = 0 t = 1, 2 0 5 cos x sin xdx = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx
例2计算Vsin3x--sin'xdx. f(x)=sinx-sinx=cosx(sinx) fsinx-sinxdcosx(sinx)d cos.x(sin)dcosx(sinx)d (sinx)dsinx(sinx)dsinx m 4
例2 计算 解 sin sin . 0 3 5 x − xdx f x x x 3 5 ( ) = sin − sin ( )2 3 = cos x sin x − 0 3 5 sin x sin xdx ( ) = 0 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( ) − 2 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 sin x d sin x ( ) − 2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2 = x ( ) − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =
计算到xiax0-n d 例3 解 原式- d(Inx) √nx(I-lnx) d(Inx) dvInx -2laresin(Vim
例3 计算 解 . ln (1 ln ) 4 3 − e e x x x dx 原式 − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x 4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6 =
4计第x+-ga>0 ” 1 解 令x=asint, dx=acostdt, x=M→t= x=0→t=0, 原式= acos t dt asint+a2(1-sin2t sint+cost d 号经sr+mg-
例4 计算 解 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, dx = acostdt, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 =
例5当f(x)在-，上连续，且有 ①f(x)为偶函数，则 f(x)dx=2f)d; ②f(x)为奇函数，则“nf(x)k=0. 证 fx)k=nfx)+fx)k, 在”，f(x)dc中令x=-t
例 5 当 f (x)在[−a, a]上连续，且有 ① f (x)为偶函数，则 − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f (x)为奇函数，则− = a a f (x)dx 0. 证 ( ) ( ) ( ) , 0 0 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 在− 0 ( ) a f x dx中令x = −t
∫，fx)c=-0f-t)t=f-)d, ①f(x)为偶函数，则f(-t)=f(t), )d=()dx+()dx =2f): ②f(x)为奇函数，则f(-t)=-f(t), f(x)d=f()dx+f(x)d=0
− = 0 ( ) a f x dx − − = 0 ( ) a f t dt ( ) , 0 − a f t dt ① f (x)为偶函数，则 f (−t) = f (t), − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; 0 = a f t dt ② f (x)为奇函数，则 f (−t) = − f (t), − = − + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) = 0
影 dx. 解 原式=1+ 2.x2 +山1+1- xcosx 偶函数 奇函数 =ie-4 =4(1-v1-x2)dk=4-4V1-x2dc 单位圆的面积 =4-元
奇函数 例6 计算 解 . 1 1 1 2 cos 1 2 2 − + − + dx x x x x 原式 − + − = 1 1 2 2 1 1 2 dx x x − + − + 1 1 2 1 1 cos dx x x x 偶函数 + − = 1 0 2 2 1 1 4 dx x x − − − − = 1 0 2 2 2 1 (1 ) (1 1 ) 4 dx x x x = − − 1 0 2 4 (1 1 x )dx = − − 1 0 2 4 4 1 x dx = 4 − . 单位圆的面积