第四节无穷小量与无穷大量
第四节 无穷小量与无穷大量
无穷小 定义1 极限为零的变量称为无穷小
一、无穷小 定义1 极限为零的变量称为无穷小
例如， limsinx=0,函数sinx是当r→0时的无穷小 x→0 .lim二=0， :函数'是当x→o时的无穷小 x→o1X .lim n-→o 仁少=0，÷数列-1)”是当→o时的无穷小 h 注意(1)无穷小是变量，不能与很小的数混淆； (2)零是可以作为无穷小的唯一的数
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
2、无穷小与函数极限的关系： 定理1Iimf(x)=A台f(x)=A+a(x), 其中o(x)是当x→x时的无穷小
2、无穷小与函数极限的关系: 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小
、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大
注意(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆； (2)切勿将imf(x)=o认为极限存在. x→xo (3)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无 界变量未必是无穷大
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 2 lim ( ) . 0 （ ）切勿将 = 认为极限存在 → f x x x
无穷小与无穷大的关系 定理4在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小； 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大
三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大
自变量在怎样的变化过程中，函数为无穷大？ 1 y=- x-1 解因为im(x-1)=0 即x→1时 x-1 为无穷小所以一为 x→1时的无穷大
自变量在怎样的变化过程中，函数为无穷大？ 1 1 − = x y lim ( 1) 0 1 − = → x 解 因为 x 即 x →1 时 x −1 为无穷小,所以 1 1 x − 为 x →1 时的无穷大
四、无穷小的性质： 性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小 性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论常数与无穷小的乘积是无穷小
四、无穷小的性质: 性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小
五、无穷小的比较 例如，当x→0时，七，x2,sin七，x2sin1都是无穷小 观 lim 0, x→03x x比3x要快得多； sinx =1, lim sinx与x大致相同； x-→0X 限 1 x2 sin 心型) x=lim sin二不存在.不可比. t? X-0 0 极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不 同
五、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0