第六节微分方程简介 一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、二阶常系数线性微分方程
第六节 微分方程简介 一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、二阶常系数线性微分方程
·、微分方程的基本概念 微分方程：含有未各函数的导数（或微分）的方程。 常微分方程：对于给定的微分方程，如果其中的未知 函数是一元函数，称为常微分方程。 微分方程的阶： 微分方程中出现的未知函数的最高阶 导数的阶数
一、微分方程的基本概念 微分方程： 含有未各函数的导数（或微分）的方程。 常微分方程： 对于给定的微分方程，如果其中的未知 函数是一元函数，称为常微分方程。 微分方程中出现的未知函数的最高阶 导数的阶数。 微分方程的阶：
微分方程的解：如果把某个函数代入微分方程中，能 使该方程成为恒等式，则称此函数为 微分方程的解。 微分方程的通解：如果微分方程的解中包含有任意常数， 且独立的任意常数的个数与微分方程 的阶数相同，这样的解称为微分方程 的通解。 微分方程的特解：微分方程的解中不包含任意常数的解 称为微分方程的特解
微分方程的通解：如果微分方程的解中包含有任意常数， 且独立的任意常数的个数与微分方程 的阶数相同，这样的解称为微分方程 的通解。 微分方程的特解：微分方程的解中不包含任意常数的解 称为微分方程的特解。 微分方程的解： 如果把某个函数代入微分方程中，能 使该方程成为恒等式，则称此函数为 微分方程的解
例1设方程y”-y=0 (1)说明微分方程的阶数： (2)验证y=C,e+C,ex为它的通解； (3)给定初始条件。=0，y1=1,求特解。 解(1)由定义可知y”-y=0为二阶微分方程。 (2)y'=C,e-C2ey"=Ce+Ce代入原方程有 y"-y=Ce*+C,e*-(Ce*+C,e *)=0 由于C,C,为两个任意常数，故y=Ce+C2ex 为微分方程y”-y=0的通解
例1 设方程 y − y = 0 （1）说明微分方程的阶数； （2）验证 x x y C e C e − = 1 + 2 为它的通解； （3）给定初始条件 0, 1 0 0 = = x= x= y y ，求特解。 解 （1）由定义可知 y − y = 0 为二阶微分方程。 （2） x x y C e C e − = 1 − 2 x x y C e C e − = 1 + 2 代入原方程有 − = 1 + 2 − ( 1 + 2 ) = 0 x −x x −x y y C e C e C e C e 由于 C1 ， C2 为两个任意常数，故 为微分方程 y − y = 0 的通解。 x x y C e C e − = 1 + 2
(3)将。=0，代入y=Ce+C,e 有 C,e°+C2e0=C+C2=0 将y。=1代入y=Ce-C,e中有 C1-C2=1 解方程组 C1+C2=0 C-C2=1 ,得出 所以特解为
（3） 将 y x=0 = 0, 代入 y = C1 e x +C2 e −x 有 1 2 0 0 2 0 1 + = + = − C e C e C C 1 0 = x= y x x y C e C e − 将 代入 = 1 − 2 中有 C1 −C2 =1 解方程组 C1 +C2 = 0 C1 −C2 =1 ，得出 2 1 C1 = 2 1 C2 = − 所以特解为 x x y e e − = − 2 1 2 1
二、一阶微分方程 1、可分离变量的方程 如果一阶微分方程可表示为安=fg0)或 M(x)N(y)dk+P(x)O(y)dy=0的形式，则称它为可分离 变量的微分方程。 对这类方程求解的方法： ①分离变量化成 dy =f(x)d(g(y)≠0) g(y) ②两端积分得 dy=∫fx)d g(y)
二、一阶微分方程 1、可分离变量的方程 如果一阶微分方程可表示为 dx f (x)g( y) 或 dy = M (x)N( y)dx + P(x)Q( y)dy = 0 的形式，则称它为可分离 变量的微分方程。 对这类方程求解的方法： g y f x dx ﹙ ﹚ dy ( ) ( ) = g( y) 0 ②两端积分得 = f x dx g y dy ( ) ( ) ①分离变量化成
③设G(x),F()分别为)和f)的原函数， 则通解为Gy)=F(x)+C 例2解微分方程y'=-上 解分离变量得 两边积分得 片 In y =-Inx+C 方程的通解 y=C1
G(x) F(x) ( ) 1 g y ③设 , 分别为 和 f (x) 的原函数， 则通解为 G( y) = F(x) + C 例2 解微分方程 x y y = − 解 分离变量得 x dx y dy = − 两边积分得 = − dx x dy y 1 1 1 ln y = −ln x +C x y C 1 方程的通解 =
阶线性微分方程 如果在一阶微分方程中，y及y的幂是一次的， 形如 y'+p(x)y=q(x) p(),x)为x的函数，则称方程为一阶线性微分方程。 当9x)=0时，方程即为 y'+p(x)y=0 称为一阶线性齐次微分方程。 相应的q(x)≠0时，方程即为 y'+p(x)y=q(x) 方程称为一阶线性非齐次微分方程
2、一阶线性微分方程 如果在一阶微分方程中， y 及 y 的幂是一次的， 形如 y + p(x) y = q(x) p(x) ， q(x) 为 x 的函数，则称方程为一阶线性微分方程。 当 q(x) 0 时，方程即为 y + p(x) y = 0 称为一阶线性齐次微分方程。 相应的 q(x) 0 时， 方程称为一阶线性非齐次微分方程。 y + p(x) y = q(x) 方程即为
按下列步骤求一阶线性非齐次微分方程的通解： 第一步：将方程化为一阶线性非齐次微分方程的 标准形式： 第二步：写出方程中的p(x与9(x)； 第三步：计算积分y=e∫M 第四步：计算积分∫g(xed 第五步：由公式y=ea∫gx)e+C 写出原微分方程的通解
按下列步骤求一阶线性非齐次微分方程的通解： 第一步：将方程化为一阶线性非齐次微分方程的 标准形式； 第二步：写出方程中的 p(x) 与 q(x) ； 第三步：计算积分 = − p x dx y e ( ) 第四步：计算积分 q x e dx p( x)dx ( ) 第五步：由公式 + = − y e q x e dx C p(x)dx p( x)dx ( ) 写出原微分方程的通解
例3解微分方程y+y=x的通解。 解p(x)=1,q)=x则 y-e"(Sxe"d+C) =e-*(Sxe'dx+C) =e-*([xde"x+C) =ex(xe-∫e'd+C) =e-*(xe*-e*+C) =x-1+Ce-x
例3 解微分方程 y + y = x 的通解。 解 p(x) =1， q(x) = x 则 y e ( x e dx C) dx dx + = − e ( x e dx C) x x = + − = + − e ( xde x C) x x = − + − e (x e e dx C) x x x e (x e e C) x x x = − + − x x Ce− = −1+