第三节极限的运算
第三节 极限的运算
极限的四则运算法则 定理设1imf(x)=A,1img(x)=B,则 (I)l1im[f(x)±g(x)]=A±B; (2)lim[f(x)Xg(x)]=AXB; (3)1 mI(x=4 其中B≠0 8(x)B1
lim[ ( ) × ± f 定理 ( ) ( ) ( 3 lim , 0 2 lim[ ( )] 1 ) )] lim ) lim = = = ± = = B B A g x f x x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 ( ) ( ) ( ) , , ( ( ; ( ) × ; 一、极限的四则运算法则
例11im(x2-3x+1) x→4 解 im(x2-3x+1) x→4 lim x2-lim 3x+lim 1=5 x>4 x3-x24 x→4 例2 lim x2x2-5x+3 解 lim x3-2 x2x2-5x+3 1im(x3-2) x→2 =-2 1im(x2-5x+3) x→2
lim lim 3 lim 1 5 4 4 2 4 − + = x→ x→ x→ x x lim ( 3 1) 2 4 − + → x x x 解 = lim ( 3 1) 2 4 − + → x x x 例1 5 3 2 lim 2 3 2 − + − → x x x x 例2 5 3 2 lim 2 3 2 − + − → x x x x 2 lim ( 5 3) lim ( 2) 2 2 3 2 = − − + − → → x x x x x 解 =
例3求ix+2x-3 x2-1 解x→时，分子，分母的极限都是零 先约去不为零的无穷小因子x一1后再求极限 x2-1 lim lim (x+1)(x-1) x1x2+2x-3x1(x+3)(x-1) x+11 lim (消去零因子法) x-1x+32
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = (消去零因子法)
例4求Iim x3-1 x2x2-3x+5 lim(x2-3x+5)limx2-lim3x+lim5 x→2 x→2 x→2 X→2 =(limx)2-3limx+lim5 x2 x-2 x→2 =22-3.2+5=3≠0， x3-1 limx3-lim1 三x→2 23-1_7 x2-3x+5mx2-3x+5)33 X→2 x→2
例 4 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim 3 lim 5 2 2 2 → 2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0 , 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim 1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 37 = 3 2 1 3 − =
例5求lim 2x3+3x2+5 x07x3+4x2-1 解 x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大， 先用x3去除分子分母分出无穷小，再求极限 2x3+3x2+5 2+35 lim x-→∞7x3+4x2-1 ,41 x x3
例 5 . 7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 求 解 x → 时, 分子,分母的极限都是无穷大. , , . 先用x3去除分子分母分出无穷小再求极限 33 3 2 3 2 4 1 7 3 5 2 lim 7 4 1 2 3 5 lim x x x x x x x x x x + − + + = + − + + → → . 72 =
小结：当a≠0，b。≠0，m和n为非负整数时有 ,当n=m, lim axm+a1xm-+…+am x→∞bx”+b1x"-1++bn ={0,当n>m, o,当n<m, 以分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以 分出无穷小，然后再求极限
小结: 当a0 0,b0 0,m和n为非负整数时有 = = + + + + + + − − → , , 0, , , , lim 0 0 1 0 1 1 0 1 n m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当 当 当 以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以 分出无穷小,然后再求极限
12 例6求im(2+ →022T2十··十2月 n 解 n→oo时，是无限多个无穷小之和. 先变形再求极限。 12 lim( 1+2+.+n -→on1 2)=lim n(n+1) 2 lim 1、1 =lim-(1+-)= n-→∞ n2 n→2 n 2
例6 ). 1 2 lim( 2 2 2 n n n n n + + + → 求 解 n → 时,是无限多个无穷小之和． 2 2 2 2 1 2 ) lim 1 2 lim( n n n n n n n n + + + + + + = → → 2 ( 1) 2 1 lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → . 2 1 = 先变形再求极限
两个重要极限 (1) sinx lim =1 x→0
二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = → x x x
例711im sin 2x x-→0 + 1 2 lim xsin- 比 解 sin 2x sin 2x lim =2.lim 02x -2im sin 2x =21=2 x0 2x
x x x sin 2 lim→0 x x x 1 lim sin → 例 7 x x x sin 2 lim→0 2 2 sin 2 lim0 = → x x x 12 解 =2· 2 2 sin 2 lim0 = → x x x · 1= 2