第四节函数的微分
第四节 函数的微分
问题的提出 实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x变到x。+△x, (4x)2 :正方形面积A=七2， A △A=(x0+△x)2-x A=x =2x0△x+(△x)2, (2) (I):△x的线性函数且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如，设函数y=x在点x处的改变量 为△x时，求函数的改变量△y. △y=(x+△r)3-xd =3x子△x+3x:(△x)2+(△x)3. (1) (2) 当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x), ∴△y≈3x·△x. 既容易计算又是较好的近似值 问题：这个线性函数（改变量的主要部分）是否 所有函数的改变量都有？它是什么？如何求？
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义设函数y=f(x)在某区间内有定义 x及x+△x在这区间内，如果 △y=f(x0+△x)-f(x)=A△x+o(△x) 成立（其中A是与△x无关的常数，则称函数 y=f(x)在点x可微，并且称A·△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量△的微分 记作x=,或f(x),即x==A·△x. 微分叫做函数增量△y的线性主部.（微分的实质）
定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
由定义知： (①)是自变量的改变量卧x的线性函数 (2)△y-=o(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时，与△y是等价无穷小 y=1+0A0→1(4x-→0). A·△x (4)A是与△无关的常数但与f(x)和x,有关； (⑤)当△x很小时，△y≈少（线性主部）
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)
例1求函数y=x2在x=1处的微分 解 函数y=x2在x=1处的微分为 d例=(x2)1·Ac=2Ax 函数在任意点x的微分，称为函数的微分 记为d或df(x),有 dy=f'(x)·△x 若y=x,则dy=d=(x)'·△x=△x 这说明，自变量的微分等于自变量的增量
例1 解 求函数 2 y = x 在 x =1 处的微分. 函数 2 y = x 2 y = x 在 x =1 处的微分为 dy x x x x x = = = = ( ) 2 1 2 1 函数在任意点 x 的微分，称为函数的微分. 记为 dy 或 df (x) ,有 dy = f (x) ·x 若 ,则 这说明，自变量的微分等于自变量的增量。 y = x dy = dx = (x) ·x = x
于是函数y=f(x)的微分又可记作 d=f'(x)dx或dy=y'dk dy 从而有 =f'(x) dx 就是说函数的微分d少与自变量的微分k 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫 “微商
于是函数 y = f (x) 的微分又可记作 就是说函数的微分 与自变量的微分 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫 “微商”. dy = f (x)dx 或 dy = y dx 从而有 f (x) dx dy = f (x) dx dy = dy dx
【例2】求y=sin(2x+1) 的微分。 dy [sin (2x+1)]dx 2cos(2x+1)dx
y = sin( 2 x + 1 ) dy sin (2 x 1) dx = 2cos( 2 x + 1 )dx = + 【例 2 】 求 的微分。 解
二、微分基本公式及微分的运算法则 dy f'(x)dx 1基本初等函数的微分公式 d(C)=0 d(x“)=x-d d(sin x)=cos xdx d(cos x)=-sin xdx d(tanx)=sec2 xdx d(cotx)=-csc2 xdx d(secx)=secxtanxdx d(cscx)=-cscxcotxdx
dy = f (x)dx 1.基本初等函数的微分公式 d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = = − 二、微分基本公式及微分的运算法则
d(ax)=ax Inadx d(ex)=e*dx dlog。)=1 dx d0)=1 xIna 1 1 d(arcsin x)=- Vi-xide d(arccosx)=- V1-xid 1 1 d(arctanx)= 1+x24 d(arc cotx)=- 1+24 2.函数和、差、积、商的微分法则 d(u±v)=du±dv d(Cu)=Cdu ydu-udy d(uv)vdu udy
dx x dx d x x d x dx x dx d x x d x dx x dx d x x a d x d a a adx d e e dx a x x x x 2 2 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arctan ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) 1 (ln ) ln 1 (log ) ( ) ln ( ) + = − + = − = − − = = = = = 2. 函数和、差、积、商的微分法则 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v vdu udv v u d uv vdu udv d d u v du dv d Cu Cdu − = + = = = arc