第一节定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
第一节 定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
问题的提出 实例1（求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 A=? x轴与两条直线x=a、 0 x=b所围成
a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 01 (四个小矩形) (九个小矩形) 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系， 3个分割点的图示 1.(上和-下和 1.05556(积分近似值) 播放
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放
曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干 个分点，M=x<1<x2<…<xm-1<Xn=b, 把区间[a,b]分成n 个小区间[x-1,x 长度为△比=x-X-1 在每个小区间[-1，x 上任取一点5 o ax -5X七n-b 以[x1,x为底，f(传)为高的小矩形面积为 A:=f(5i)△x:
曲边梯形如图所示， , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点， = n− n = 在区间 内插入若干 a b x y o i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − − i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为
曲边梯形面积的近似值为 ()Ax i=1 当分割无限加细，即小区间的最大长度 2=max{△x1,△x2,…△xn} 趋近于零(2→0)时， 曲边梯形面积为A=lim∑f(5)△x, 2→0e1
i n i A f i x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i A = f i x = → lim ( ) 1 0 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = x x xn 曲边梯形面积为
实例2（求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是 时间间隔[T,T,】上t的一个连续函数，且 v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值
实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
(1)分割T=t。<t1<t2<…<tn-1<tn=T2 △t:=t-t-l △S≈(i△t 部分路程值 某时刻的速度 (2) 求和 s=2(4 i=1 (3)取极限 =max{△t1,△t2,,△tn} 路程的精确值s=im∑y(z)△t 元-→01
（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s v t = ( ) 1 （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 路程的精确值
定积分的定义 定义设函数f(x)在a,b1上有界，在a,b]中任意插入 若干个分点a=X。<X,<x<…<x1<X,=b 把区间可，b]分成个小区间，各小区间的长度依次为 △x;=x；-X-1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 一点5：（5，∈△x;)，作乘积f(5:)△x,(i=1,2,) 并作和S=∑f(5)△x, 记2=max{△1，△x2,…,△xm},如果不论对a,b]
设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , } = x1 x2 xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )，在各小区间上任取 一点 i（ i xi），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 二、定积分的定义 定义
怎样的分法，也不论在小区间可x1,x:上 点5怎样的取法，只要当2→0时，和S总趋于 确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x) 在区间可a,b]上的定积分，记为 积分上限 积分和 f(x)ds长I=lim∑f(5)△x 2→0 i=1 积分下限 积分变量 [a,b1积分区间 积函数 被积表达式
怎样的分法， = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当 → 0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和