数学模型 方桌问题
数学模型 ——方桌问题
问题： 在一块不平的地面上，能 否找到一个适当的位置而将一 张方桌放稳？
问题： 在一块不平的地面上，能 否找到一个适当的位置而将一 张方桌放稳?
一、问题的分析 思考：如何用数学语言描述“方 桌在地面放稳” 所谓方桌能否在地面放稳是 指方桌的四个脚能否同时着地， 而四个桌脚是否同时着地是指四 个桌脚与地面的距离是否同时为 零
一、问题的分析 思考：如何用数学语言描述“方 桌在地面放稳”. 所谓方桌能否在地面放稳是 指方桌的四个脚能否同时着地. 而四个桌脚是否同时着地是指四 个桌脚与地面的距离是否同时为 零
我们可以转而研究四个桌脚 与地面的距离是否同时等于零.这 个距离是变化的，于是可视为函 数，那么作为函数，它随哪个量 的改变而改变？构造这个距离函 数成为主要建模目的
我们可以转而研究四个桌脚 与地面的距离是否同时等于零.这 个距离是变化的，于是可视为函 数，那么作为函数，它随哪个量 的改变而改变？ 构造这个距离函 数成为主要建模目的
为了构造函数和设定相关参数， 让我们实际操作一下，从中搜集 信息，弄清其特征. 要想四个桌脚同时着地，通常有 两种方法：
为了构造函数和设定相关参数， 让我们实际操作一下，从中搜集 信息，弄清其特征. 要想四个桌脚同时着地，通常有 两种方法:
一种方法是将方桌搬离原地，换 个位置试验. 另一个方法是原地旋转试验. 注：前一种方法需要研究的范围 可能要很大，这里采取第二种方 法
一种方法是将方桌搬离原地，换 个位置试验. 另一个方法是原地旋转试验. 注：前一种方法需要研究的范围 可能要很大，这里采取第二种方 法
通过实地操作，易得出结论： 只要地面相对平坦，没有 地面大起大落情况，那么随着 旋转角度的不同，三只脚同时 落地后，第四只脚与地面距离 也不同（不仅如此，旋转中总 有两个脚同时着地，另两个脚 不稳定)
通过实地操作，易得出结论： 只要地面相对平坦，没有 地面大起大落情况，那么随着 旋转角度的不同，三只脚同时 落地后，第四只脚与地面距离 也不同（不仅如此，旋转中总 有两个脚同时着地，另两个脚 不稳定）
也就是说，这个距离函数与 旋转角度有关，是旋转角度的函 数.于是一个确定的丞数关系找 到了. 不仅如此，我们的问题也顺 其自然地转化为：是否存在一角 度，使得距离函数为零？
也就是说，这个距离函数与 旋转角度有关，是旋转角度的函 数.于是一个确定的函数关系找 到了. 不仅如此，我们的问题也顺 其自然地转化为：是否存在一角 度，使得距离函数为零?
二、合理的简化假设 1.桌子的四条腿同长（这个假设显 然合理，而且避免了本题与桌腿长 度有关使问题变复杂). 2.将方桌的桌脚与地面接触处看成 是一个几何点，四脚连线为正方形 ABCD(这是因为问题本身考虑的是 能否四脚着地而与方桌样式，桌腿 粗细等无关)
二、合理的简化假设 1．桌子的四条腿同长(这个假设显 然合理，而且避免了本题与桌腿长 度有关使问题变复杂). 2．将方桌的桌脚与地面接触处看成 是一个几何点，四脚连线为正方形 ABCD(这是因为问题本身考虑的是 能否四脚着地而与方桌样式，桌腿 粗细等无关)
3.地面相对平坦，即在旋转所在 地面范围内，方桌在任何位置至 少有三只脚同时着地（自然这是 符合实际的合理假设). 4.地面高度不会出现间断，亦即 不会出现台阶式地面，即地面的 起伏是连续变化，可视地面为数 学上的连续曲面
3.地面相对平坦，即在旋转所在 地面范围内，方桌在任何位置至 少有三只脚同时着地(自然这是 符合实际的合理假设). 4.地面高度不会出现间断，亦即 不会出现台阶式地面，即地面的 起伏是连续变化,可视地面为数 学上的连续曲面