第四节平面图形的面积
第四节 平面图形的面积
平面图形的面积 (1)若f(x)≥0，如图所示，则其面积为 y=fx) A=(ds (2)若f(x)≤0，如图所示，则其面积为 A--ff(x)dbx y=f(x)
一、平面图形的面积 （1）若 ≥ ，如图所示，则其面积为 = b a A f (x)dx f (x) 0 （2）若 f (x) ≤ 0 ，如图所示，则其面积为 = − b a A f (x)dx
)若f)在[a,b]内既有取正值的部分，也有取负值的部分，如图所示，则其面积 为 A=A+A+A,=f)-心fx)+心fx) =x v=g(x) 0 (4)若y=f(x)曲线位于y=g(x)曲线的上方，如图所示，则其面积为 A=(x)ds-[g(x)dx 或 A=[Lf(x)-g(x)]dx O a y=g(x)
（3）若 在[ ]内既有取正值的部分，也有取负值的部分，如图所示，则其面积 为 f (x) a,b = + + = − + b c c c c a A A A A f x dx f x dx f x dx 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 （4）若 y = f (x) 曲线位于 y = g(x) 曲线的上方，如图所示，则其面积为 = − b a b a A f (x)dx g(x)dx 或 A f x g x dx b a = ( ) − ( )
(5)若x=p)曲线位于x=w(y曲线的右侧，如图所示，则其面积为 A=0)-y0) p(y A=["[p(y)-w(y)]dy 0 【例1】求由曲线y=,直线y=x，及x=2所围成的平面图形的面积。 解作图4-11，然后求出y=与y=x的交点1，) 得 4=0=-邮] =2-h2)-分-0=3-h2
（5）若 x = ( y) 曲线位于 x = ( y 曲线的右侧 ) ，如图所示，则其面积为 = − b a b a A (y)dy (y)dy A y y dy b a = ( ) − ( ) 【例1】 求由曲线 ，直线 ，及 所围成的平面图形的面积. x y 1 = y = x x = 2 解 作图4-11，然后求出 与 的交点(1,1) x y 1 = y = x 得 2 1 2 2 1 ln 2 1 1 = − = − dx x x x A x ln 2 2 3 0) 2 1 = (2 − ln 2) − ( − = −
【例2】求由曲线xy=1与直线x=3,X=及x轴围成的平面图形的面积A. 解作图4-12. A===h3 【例3】求由抛物线y=x+1与直线x+y=3围成的平面图形的面积A 解作图4-13.求出抛物线y=x2+1与直线x+y=3两个交点横坐标分别为x=1与x=-2 于是，所求面积为 A=,k3-x)-(x2+1dk=,(2-x-x2k 2✉--儿34-2+到劉
【例2】 求由曲线 xy = 1 与直线 x = 3 ， x =1 及 x 轴围成的平面图形的面积 A . 解 作图4-12. ln ln 3 1 3 1 3 1 = = = dx x x A 【例3】 求由抛物线 与直线 围成的平面图形的面积 . 1 2 y = x + x + y = 3 A 解 作图4-13.求出抛物线 与直线 两个交点横坐标分别为 与 . 于是，所求面积为 1 2 y = x + x + y = 3 x =1 x = −2 − − = − − + = − − 1 2 2 1 2 2 A (3 x) (x 1) dx (2 x x )dx 2 9 3 8 ( 4 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 3 = − − − + = − − = − − − x x x
【例4】求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积A· 解作图4-14.解方程组，可得交点为A(8,4),B(2,-2)所求面积为 A=0y+4)- (2,-2
【例4】求由抛物线 y 2x 与直线 围成的平面图形的面积 . 2 = y = x − 4 A 解 作图4-14.解方程组，可得交点为 A (8,4), B (2,-2)所求面积为 A y y dy − = + − 4 2 2 2 1 ( 4) 18 6 1 4 2 1 4 2 2 3 = = + − − y y y
小结： ·平面图形的面积（五种情况） 。例题
小结： ❖ 平面图形的面积（五种情况） ❖ 例题