第五节函数的连续性
第五节 函数的连续性
、函数的连续性 1.函数的增量 设函数f(x)在U(x)内有定义，Hx∈U(x), △x=x-七，称为自变量在点的增量. △y=f(x)-f(x),称为函数f(x)相应于△的增量. y=f(x) y=f(x) y △ △ x+△x 01 xo+△x
一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)
2.连续的定义 定义1设函数f(x)在U(x,)内有定义，如 果当自变量的增量△x趋向于零时，对应的函 数的增量△y也趋向于零，即Iim△y=0或 mf(x+△)-f(x,川=0，那末就称函数 f(x)在点x,连续，x,称为f(x)的连续点 设x=x,+△x, △y=f()-f(x), △x→0就是x→x,△y→0就是f(x)→f(x)
2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为f (x) 的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义2设函数f(x)在U,(x)内有定义，如果 函数f(x)当x→飞时的极限存在，且等于它在 点x,处的函数值f(x),即limf(x)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x,连续
定 义 2 设函数 f (x) 在 ( ) U x0 内有定义,如 果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点x0处的函数值 ( ) 0 f x ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0 连续
例1试证函数f(x)= xsin1,x≠0，在x=0 0,x=0, 处连续。 证 lim x sin=0, x→0 又f0)=0, lim f(x)=f(0), x0 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
3.单侧连续 若函数f(x)在(a,x内有定义，且f(x。-0)=f(x), 则称f(x)在点x处左连续； 若函数f(x)在xo,b)内有定义，且f(x。+0)=f(xo), 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x,处连续台是函数fx)在x 处既左连续又右连续
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x
例2讨论函数f(x)= [x+2,x≥0， 在x=0处的 x-2,x<0, 连续性。 lim f(x)=lim(x+2)=2-f(0), lim f(x)=lim(x-2)=-2 f(0), 0 0 右连续但不左连续， 故函数f(x)在点x=0处不连续
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上 的连续函数，或者说函数在该区间上连续， 如果函数在开区间(a,b)内连续，并且在左端点 x=处右连续，在右端点x=b处左连续，则称 函数f(x)在闭区间[a,b上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线， 例如，有理函数在区间(-∞，+o)内是连续的
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间(−,+)内是连续的
例3证明函数y=sinx在区间(-oo,+o)内连续， 证任取x∈(-0，+0)， Ay sin(x+Ax)-sinx =2sin 2 对任意的a,当a≠0时，有sina<o, .△x 故Ay≤2sin2<Ax，÷当Ax→0时，Ay→0. 即函数y=sinx对任意x∈(-oo,+oo)都是连续的
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的
函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件： (I)f(x)在点x处有定义； (2)imf(x)存在； (3)lim f(x)=f(xo). 如果上述三个条件中要有一个不满足则称 函数f(x)在点x,处不连续（或间断），并称点x,为 f(x)的不连续点或间断点)
二、函数的间断点 ( ) : 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函 数 在 点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则 称 f x f x x x