第三节隐函数的导数及由参数方程 所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、相参数方程的求导法
第三节 隐函数的导数及由参数方程 所确定 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、相参数方程的求导法 的函数的导数
、 隐函数的导数 1复习：函数的表示法 (1)直接表示： 解析式y=f(x)x∈D,这样描述的函数称为显函数 (2)间接表示 由一个方程F(x,y)=0所确定的函数 例x2+y2=1可确定函数y=±V1-x2 由两个方程确定（带一个中间变量）参数方程： x=x(t) t是参数 -2X+X y=y(t) 方法(1)表示的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化
一、隐函数的导数 1 复习:函数的表示法 (1)直接表示: 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数 (2)间接表示 由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数 例 可确定函数 , 由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程: t是参数 方法(1)表示的函数称为隐函数. 1 2 2 x + y = 2 y = 1− x = = ( ) ( ) y y t x x t 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化
2隐函数的定义 一般地，如果变量x和y满足一个方程Fc)0,在一定条件下 当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在，那么就说方程Fx)=0在该区间内确定了一个隐函 数 隐函数的求导方法： (1)将方程F(x,y)=0两端对x求导，在求导过程中 要记住y是x的函数；y的函数是x的复合函数. (2)解出 +X-2X+X d -X+X
2 隐函数的定义 一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下 当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函 数 隐函数的求导方法: (1)将方程F(x,y)=0两端对x求导,在求导过程中 要记住y是x的函数;y的函数是x的复合函数. dx dy (2)解出
例1求由方程e'+y-e=0所确定的隐函数的导数 dx 解我们把方程两边分别对x求导数，注意yy, 方程左边对x求导得 d 方程右边对x求导得(0)'=0 在++ 所以e心 -=0 d
例1 求由方程 e + xy − e = 0 所确定的隐函数的导数 y dx dy 解 我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得 ( ) , dx dy y x dx dy e xy e e dx d y y + − = + + 方程右边对x求导得 (0) = 0 + + = 0 dx dy y x dx dy e 所以 y
从而 dy y (x+e')≠0 dx x+ex 注意：在这个结果中，分式中的yy(x)是由方程'+y-e=0 所确定的隐函数 例2求由方程 y'+2y-x=0 所确定的隐函数x=O处的 导数衣 解把方程两边分别对x求导，由于方程两边的导数相等， 所以 5y少+29-1=0 d dx dy 1 +X-2X十 由此得 d■5y4+2 因为当x0时，从原方程得)0，所以 |x=0 12
从而 ( ) 0 y y dy y x e dx x e = − + + 注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程 所确定的隐函数 e + xy − e = 0 y 例2 求由方程 所确定的隐函数x=0处的 导数 5 y y x + − = 2 0 x=0 dx dy 因为当x=0时,从原方程得y=0,所以 2 1 = x=0 dx dy 解 把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等, 4 5 2 1 0 dy dy y dx dx + − = 由此得 4 1 5 2 dy dx y = + 所以
例3求圆x2+y2=a在点M(x,)处的切线方程. 解由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为k=y 圆方程的两边分别对x求导，有 2x+2y.4=0 d 从而 少=X dx y 从而在M(xo,),处的切线率为 2X+X= Yo 于是所求的切线方程为 y-为=(x7)即 Yo Xox+Yoy=a
例3 求圆 在点 处的切线方程. 2 2 2 x y a + = M x y ( 0 0 , ) 解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 0 x x k y = = 圆方程的两边分别对x求导,有 2 2 0 dy x y dx + = 从而 dy x dx y = − 从而在 处的切线率为 0 0 x x y y dy k dx = = = 0 0 x y = − 于是所求的切线方程为 0 0 0 0 ( ) x y y x x y − = − − 即 2 0 0 x x y y a + = M x y ( 0 0 , )
二、对数求导法 方法： 先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求 出导数 对数求导法 适用范围： 多个函数相乘和幂指函数(x))的情形 下面通过例子来说明这种方法 例5设y=xinx(x>0),求y'. 解等式两边取对数得lny=sinx·lnx 上式两边求导得
二、对数求导法 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求 出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x) 的情形 下面通过例子来说明这种方法 例5 ( 0), . sin y x x y x 设 = 求 解 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x 上式两边对x求导得
-y=cosx.Inx+sinx. .'.y=y(cosx.Inx+sinx. =xsim (cos x.Inx+ sinx 般地 f(x)=u(x)(u(x)>0) .·lnf(x)=v(x)lnu(x) 又~4nfx)= 1 d f(x) dx f(x)dx
x y x x x y 1 cos ln sin 1 = + ) 1 (cos ln sin x y = y x x + x ) sin (cos ln sin x x x x x x = + 一般地 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x = u x u x v x ln f (x) = v(x)lnu(x) ( ) ( ) 1 ln ( ) f x dx d f x f x dx d 又 =
∴f'x)=f) dinf(x) .f(x)=u(x)"v'(x).Inu(x)+ v(x)u(x) u(x) 幂指函数f(x)=(x))(u(x)>0)也可表示成 f(x)=e"(x)inu(x) 这样，便可直接求得 f'(x)=e"(().Inu(x)+v(x). (x) u(x) =u(x)9 (x).Inu(x)) u(x)
( ) ( ) ln f (x) dx d f x = f x ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x f x u x v x u x v x = + 幂指函数 ( ) ( ) ( ( ) 0) 也可表示成 ( ) f x = u x u x v x ( )ln ( ) ( ) v x u x f x = e 这样,便可直接求得 ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) ( )l n ( ) u x u x f x e v x u x v x v x u x = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x u x v x u x v x
(x-10(x-2) 例6求"=Vx-3-4的导数 解 两边取对数（假定>4），得 In y=lln(x-1)+n(x-2)-In(x-3)-In(x-4)] 两边对x求导 , 于是
例6 求 的导数 ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y 两边对x求导 − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 x x x x y y 于是 解 两边取对数(假定x>4 ), 得 [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)] 2 1 ln y = x − + x − − x − − x − − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 x x x x y y