第二节换元积分法 、 第一类换元法 二、第二类换元法 +X-2X十X
第二节 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
第一类换元积分法（凑微分法 例1求∫e2a 分析ed=e+C ∫ek=)je22=ea2x) 令2x=w fe'duec 验证(e2+Cy=e
一、第一类换元积分法(凑微分法) 例1 求 2x e dx 验证 x x e dx e C = + 2x e dx 1 2 2 2 x = e dx 1 2 (2 ) 2 x = e d x ⎯⎯⎯→ 令2x u= 1 2 u = e du 1 2 u = + e C ⎯⎯⎯⎯→ 回代 u x =2 1 2 2 x = + e C 1 2 ( ) 2 x e C+ 2 x = e 分析
定理（第一类换元积分法） 设u=p(x)在[a,b]上可导，a≤p(x)≤B,f(u) 在[a,B]上有定义并有原函数F(u),则 (x)1p'(x)dx [f(u)du=F(u)+e 回代u=p(x) F(o(x)]+c
1 ( ) [ , ] ) , ( ) [ ] ), [ ( )] ( ) u x a b x f u F u f x x dx = ========= 定理（第一类换元积分法） 设 在 上可导， （ 在 ， 上有定义并有原函数（ 则 f (u)du = F(u) + c F x c ( ( )] + 令（x) = u 回代u =(x) =========
证明：由复合函数的求导法则验证得 (C)F) dx =Lf(u)(x) =fe(x)(x)
证明: 由复合函数的求导法则验证得: ( [ ( )] ) [ ( )] ( ) ( ) F x C F u x dx d + = u x = ( ) [ ( )] ( ) u x f u x = = = f[(x)](x)
解 ①在一般情况下： 设F'四=f四则∫f(w)du=F(w+C ②使用此公式的关键在于将 ∫g(x)dc化为JfIp(xlp'(x) 崇恭恭
注 解 ① 在一般情况下： 设 F'(u) = f (u) 则 f (u)du = F(u)+C ② 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 f[(x)]'(x)dx
④ 例2求∫2x+)' 解：2x+0=J2x+a2x+) 令2x+1=" w30 1u10 +C 回代1=2x+1 (2x+1D0+C 20
9 2 1) x dx + 例 2 求（ 解: x dx + 9 (2 1) 1 9 (2 1) (2 1) 2 = + + x d x 令2x +1= u u du 9 2 1 10 1 2 10 u = + C 回代u = 2x +1 x + + C 10 2 1 20 1 （ ）
例3 求cos3xd 解：∫cos3xd=∫cos3xd(3r) 令3x=4 cosudu =sinu+C 3 ▣代u=3x -sin 3x+C
cos3xdx 例3 求 解: cos3xdx = cos3 (3 ) 3 1 x d x 令3x = u cosudu 3 1 1 sin 3 = + u C 回代u = 3x sin 3x + C 3 1
例4求2 *COSx2d成 解：2 xcosx2d =∫cosd(2)=coSudu -sinu+c 三S1nx2+c
2 2 cos x x dx 例4 求 = cosudu 解: 2 2 cos x x dx 2 2 = cos ( ) x d x = + sinu c 2 = + sin x c
有上面的例题可以看出，用第一类还原积 分法计算积分时，关键是把被积表达式凑成 两部分，使其中一部分为 dp(x), 另一部分为p(x)的函数f[p(x】 因此，通常有把第一类还原积分成为 凑微分法 熟练计算以后，可以不写出换元这 步，直接计算
有上面的例题可以看出,用第一类还原积 分法计算积分时,关键是把被积表达式凑成 两部分,使其中一部分为 d x ( ), 另一部分为 ( ) [ ( )]. x f x 的函数 因此,通常有把第一类还原积分成为 凑微分法. 熟练计算以后,可以不写出换元这 一步,直接计算
例5 解e-∫ei-e+0 X 例6求tan xdx 解nh=whg cosx 类似地，可得 cot xdx Insinx+C
1 21 x e dx x − 例 5 求 解 : dx x e x 2 1 1 − 1 1 1 ( ) x x e d e C x − − = = + − tan xdx 例 6 求 解 : tan xdx d x x C x dx xx = = − = − + (cos ) ln cos cos1 cos sin cot ln sin xdx x C = + 类 似 地，可 得