第九章梁的强度计算 ○梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算
第九章 梁的强度计算 梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算
第九章梁的强度和刚度计算 梁的内力：剪力Q、弯矩M 相应应力：剪应力τ、正应力σ 其中与Q有关，o与M有关。 如图简支梁 -a AC、DB段：横力弯曲(M,Q) 77777 CD段：纯弯曲（M,Q=0) Q图 ⊕ 本章内容：梁的强度计算问题。 M图 ⊕ Pa
第九章 梁的强度和刚度计算 本章内容：梁的强度计算问题。 梁的内力：剪力Q、弯矩M 相应应力：剪应力τ、正应力σ 其中τ与Q有关，σ与M有关。 如图简支梁 AC、DB段：横力弯曲（M ，Q） CD段：纯弯曲（M ，Q=0） z τ Q M σ A B a a C D P P Q图 P P M图 Pa
第一节梁横截面上的正应力 一、实验观察与分析： ①横线仍为直线，倾斜角度d0 ②纵线由直变弯，与横线正交 ③上部变宽，下部变窄 (b 假设：①平面假设 ②单向受力假设 中性层—长度不变的纤维层 中性轴一中性层与横截面的交线 返回下一张上一张
第一节 梁横截面上的正应力 一、实验观察与分析： ①横线仍为直线,倾斜角度d ②纵线由直变弯, 与横线正交 ③上部变宽，下部变窄 假设：①平面假设 ②单向受力假设 中性层—长度不变的纤维层 中性轴—中性层与横截面的交线 返回 下一张 上一张 y o (a) z x b h c o e f g k (b) e f k g z y M M x y z 中性轴 中性层 (c) M e f e f g M k k g z y
二、正应力公式的推导： 中性层 (一)变形何关系： 取梁微段dx考虑变形几何 关系，得应变规律： 中性轴 △Syd8 =y dx(a) (b) dx pde p (二)物理关系： de 由假设2及虎克定律，梁横截 dx 面上的正应力变化规律为： G=Es=EY 0 (c) 返回下一张上一张
二、正应力公式的推导： （一）变形几何关系： ; y d yd dx S = = = 取梁微段dx考虑变形几何 关系，得应变规律： （二）物理关系： y = E = E 由假设2及虎克定律，梁横截 面上的正应力变化规律为： 返回 下一张 上一张 f e e f d x (a) (b) 中性轴 中性层 z x y f e f e M dx dθ e f e f a b ρ y o1 o2 (c)
(三)静力学关系： N=∫oA=0→E[aA=0一中性轴Z必通过形心 OA M,=:od4=0→Ej3d4=0一中性轴是截面的形心主轴 M.=yodA=M→EJydA=M 1M 一 P EI. 一纯弯曲梁的变形计算公式 可得正应力计算公式： 注：为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号 依点所处区域直接判断。 返回下一张上一张
（三）静力学关系： = = 0 = 0 yd E N d = = 0 = 0; zydA E M y z dA = = = y dA M E Mz y dA M 2 z My = —中性轴Z必通过形心 —中性轴是截面的形心主轴 可得正应力计算公式： 注：为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号 依点所处区域直接判断。 ; 1 E z M = —纯弯曲梁的变形计算公式 返回 下一张 上一张 o M M dN dA y z y
例9-1图示悬臂梁。试求C截面上α、b两点的正应力和该截面最大 拉、压应力。 3.0kN.m P=1.5kN 解：（1)计算弯矩Mc、惯性矩Iz —200- bh I2= =5830cm4 单位：cm M。=-2P=-3KN·m, 12 (2)求a、b两点的正应力 a2=M=3.09MPa,0。=M,=-1.54MPa I. (3)求C截面最大拉应力o十ma和最大压应力omax _M.Yms=4.63MPa=-Om （在截面上下边缘) 返回下一张上一张
例9-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大 拉、压应力。 解：（1）计算弯矩M C 、惯性矩IZ （2）求a、b两点的正应力 M 2P 3KN m, c = − = − 4 3 5830 12 cm bh I z = = 3.09MPa, I M y z c a a = = MPa I M y z c b b = = −1.54 + − = = = − max max max 4.63MPa I M y z c （3）求C截面最大拉应力σ＋ max和最大压应力σ－ max （在截面上下边缘） 返回 下一张 上一张 200 C P=1.5kN 18 12 3 3 a o b x y 单位：cm 3.0kN m
例9-218号工字钢制成的简支梁如图示，求D截面上α、b两点处 的正应力。 P-60KN-P 解：（1)求D截面MD Mp=30kN.m 777777 k5m+ （2)查表求12 11660cm4 M图 截面尺寸单位：mm 3.0kN.m (3)求D截面a、b两点的正应力 180 ya yo= 2 -10.7=79.3mm _MpYz=-143.3MPa=-Os 0 返回下一张上一张
例9-2 18号工字钢制成的简支梁如图示，求D截面上a、b两点处 的正应力。 解：（1）求D截面MD MD =30kN.m b z D a a a b MPa I M y y y mm = = − = − = = − = 143.3 10.7 79.3 2 180 （3）求D截面a、b两点的正应力 （2）查表求IZ IZ=1660cm4 返回 下一张 上一张 3.0kN m M图 94 10.7 10.7 180 截面尺寸单位:mm a b z y 0.5m 1m 0.5m C D A B p=60KN=P
第二节 梁横截面上的剪应力 一、矩形截面梁： 矩形截面剪应力计算公式： os" T= I.b 沿截面高度按抛物线规律变化： y=土h,x=0y=0,Tmax 60h2_39 4bh3 2bh Imax 303 max-24=2 (:-平均剪应力) 返回下一张上一张
第二节 梁横截面上的剪应力 一、矩形截面梁： 矩形截面剪应力计算公式： I b QS z z * = τ沿截面高度按抛物线规律变化： ) 4 ( 6 ) 4 ( 2 2 2 3 2 2 y h bh Q y h I Q z = − = − bh Q bh Qh y h y 2 3 4 6 , 0; 0, 2 3 2 = = = max = = 2 3 2 3 max = = A Q （ −平均剪应力） τmax h τmax 返回 下一张 上一张
二、其它形状截面的剪应力： 1.工字形截面梁： 0 翼缘 1)腹板上的剪应力：承担截面绝大部 分剪应力，中性轴处有最大剪应力： 腹板 下翼缘 I max OS:x I.d 或tmx≈ hd max 2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分 布，计算公式与矩形截面的相同，其方向与竖向剪应力方向之间 存在“剪应力流”的规律。 OS. 水平 返回下一张上一张
二、其它形状截面的剪应力： 1. 工字形截面梁： 1)腹板上的剪应力：承担截面绝大部 分剪应力，中性轴处有最大剪应力： z o z I QS 水平 = h d Q 1 或 max 2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分 布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间 存在“剪应力流”的规律。 d QS z z = max max K d z K h1 y 上翼缘 下翼缘 腹板 δ A a δa z τ τmax τmin 返回 下一张 上一张
2.T字型截面： T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力 仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为： os" I.d 3.圆形及环形截面： 圆形与薄壁环形截面最大竖向剪应力也都发生 还 在中性轴上，沿中性轴均匀分布，其值为： 圆形截面 _49 Q 薄壁环形截面 mx =2 A. 返回下一张上一张
2. T字型截面： T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力 仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为： I d QS z z * = 3. 圆形及环形截面： 圆形与薄壁环形截面最大竖向剪应力也都发生 在中性轴上，沿中性轴均匀分布，其值为： 薄壁环形截面 1 max 3 4 A Q = 2 max 2 A Q = 圆形截面 返回 下一张 上一张