黄河水利职业技术学院 课件 微积分的性质_高等数学第二单元

第二节微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式 【移地

一、变上限定积分 第二节 微积分的基本公式 二、微积分的基本公式

一、变上限定积分 如果x是区间[4，b]上任意一点，定积分 o 表示曲线y=fx)在部分区间[a,x]上曲边梯形 AxC的面积，如图中阴影部分所示的面积.当x在 区间[4，b]上变化时， 阴影部分的曲边梯形面 积也随之变化，所以变 上限定积分 ra 是上限变量x的函数.记作中x),即 (x)=f()dt (a≤x≤b). 速

一、变上限定积分 如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分  x a f (t)dt 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形 AaxC 的面积，如图中阴影部分所示的面积.当 x 在 区间 [a, b] 上变化时, 阴影部分的曲边梯形面 积也随之变化，所以变 上限定积分  x a f (t)dt y x y = f (x) O a x b A C B 是上限变量 x 的函数.记作  (x)，即 (x) f (t)dt (a x b). x a  = ≤ ≤ (x)

定理1若函数fx)在区间[，b]上连续， 则变上限定积分 (x)=∫ft)d 在区间[4，b]上可导，并且它的导数等于被积函数， 即 )=f(dr =f(x), 物地

定理 1 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 则变上限定积分  = x a (x) f (t)dt 在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数， 即 (x) f (t)dt f (x). x a =       =  

证按导数定义，证i → △(）=f()即可. △x 给自变量x以增量△x,x+△x∈[a,b],由Φw)的 定义得对应的函数中()的量△D(心)，即 △D(c)=D(c+△x)-D(x) =f-∫广f0d =f(x -fdr+d-fdr =∫+f)d6. xx+△xbPx 你移地

证 按导数定义， ( ) . ( ) lim 0 证 f x 即 可 x x x =    →  给自变量 x 以增量 x，x + x  [a, b]，由  (x) 的 定义得对应的函数  (x) 的量  (x)， 即  (x) =  (x + x) -  (x)   = − + x a x x a f (t)dt f (t)dt    + = + − x a x x x x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt ( )d .  + = x x x f t t x + x A C b B y = f (x) x y O a x (x) 

根据积分中值定理知道，在x与x+△x之间 至少存在一点5，使 Ao)=f0=f传Ax 成立.又因为fx)在区间[a,b]上连续，所以，当 △x→0时有5→x,f(⑤→fx), 从而有 Φ')=im △(x）=imf(5)=fx Ax-→0△x 5-0 故 fd）=fx 地

根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间 至少存在一点 x ，  (x)  + = x x x f (t)dt = f (x )x 又因为 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 所以，当 x → 0 时有 x → x， f (x) → f (x)， 从而有  (x) x x x   =  → ( ) lim 0  lim ( ) ( ). 0 = f = f x → x x 故 f (t)dt f (x). x x a =         使 成立

定理1告诉我们，变上限定积分 (x)=f(t)dt是函数f,)在区间 [,b]上的一个原函数，这就肯定了 连续函数的原函数是存在的，所以， 定理1也称为原函数存在定理. 物地

定理 1 告诉我们，  = x x (x) f(t)dt 是函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，这就肯定了 连续函数的原函数是存在的，所以， 定理 1 也称为原函数存在定理. 变上限定积分

例1已知(x)=edt,求x, 解根据定理1，得 -feu)-c. 你移惠

例 1  = x t x t 0 ( ) e d , 2 已知 求 (x). 解 根据定理 1，得 ( ) e d e . 2 2 0 x x t x t =         =  

例2已知F()=cos(3+1)d,求F. 解根据定理1，得 Aw-[cas6+ua[cs6i+t =-c0s3x+1). 地

例 2  = + 0 ( ) cos(3 1)d , x 已知F x t t 求 F (x). 解 根据定理 1，得 F(x)      = +  0 cos(3 1)d x t t      = − +  x t t 0 cos(3 1)d = −cos(3x +1)

例3 设D(x)=sin(t)dt,求D'(w, 解 w-（“sin(yar -"sin()ar =sin x. 2√x 物地

例 3  = x x t t 0 2 设 ( ) sin( ) d , 求 (x). 解  (x )    =  x x t t 0 2 sin( ) d x x x sin( t ) d t ( x ) 0 2      =  sin . 2 1 x x =

例4设=1+a求出 解 &-（+ra (i+u++aw (i++i+ra） -+++% =-1+x3+2xV1+x6. 金

例 4  = + 2 1 d , 3 xx 设 y t t 解 . ddxy 求 xy dd    = +  x xx t t 2 1 d 3   = + + +   x ax xa t t t t 2 1 d 1 d 3 3   + +   = − +   x xa x xa t t t t 2 1 d 1 d 3 3 x x x 1 x 1 t d t ( x ) 2 0 3 3 2 2     = − + + +  1 2 1 . 3 6 = − + x + x + x