第四节广义积分 2 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 移速
一、无穷限的广义积分 第四节 广义 积 分 二、无界函数的广义积分
一、无穷区间的广义积分 例1求由曲线y=ex,y轴及x轴所围成开口 曲边梯形的面积 解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b∈[0，+∞)，在有限区间 [0,b]上，以曲线y=ex 为曲边的曲边梯形面积为 (0,1) fe- y=ex 0 你移魂
一、无穷区间的广义积分 例 1 求由曲线 y = e -x ，y 轴及 x 轴所围成开口 曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b [0, + )，在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e - x 为曲边的曲边梯形面积为 . e 1 e d e 1 0 0 b b x b x x = − = − − − b y = e -x y O x (0,1)
当b→+∞时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积，即 4-medx-m-1. h→+00 (0,1 湖
A x b a x b lim e d − →+ = 1. e 1 lim 1 = = − →+ b b y = e -x y O b x (0,1) 即 当 b → + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积
定义1设函数fx)在[a,+o)上连续，取实 数b>a,如果极限 lim f(x)dx b→+0 存在，则称此极限为函数f)在无穷区间[a,+o) 上的广义积分，记作fx,即 f(d=lim()dx. 这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散 【电
定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续，取实 数 b > a，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的广义积分， ( )d lim ( )d . →+ + = b a b a f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d , + a 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散
定义2设函数f()在(-o,b]上连续，取实 数a>b,如果极限 2 存在，则称此极限值为函数fx)在无穷区间(-∞，b] 上的广义积分，记作∫fx)d,即 fdx-limf()dx a-00a 这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散 速
定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实 数 a > b， 如果极限 →− b a a lim f (x)dx 则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分， ( ) lim ( ) b b a a f x x f x x − →− = d d 这时也称广义积分收敛， ( )d , − b 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散
定义3设函数fx)在(-o,+0)内连续，且 对任意实数c,如果广义积分 2 ∫fx)de与广fx 都收敛，则称上面两个广义函数积分之和为fx)在无 穷区间（仁o,+o)内的广义积分，记作fx)dc,即 f(x)dx=-了fx)dc+["f(dx, 这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散 5地
定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续，且 对任意实数 c， 如果广义积分 f x x f x x c c ( )d ( )d + − 与 则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无 穷区间 (- , + ) 内的广义积分， ( )d ( )d ( )d , + − − + = + c c f x x f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d , + − 记作 f x x 即 都收敛， 否则称广义积分发散
若F)是fe)的一个原函数，并记 F(+o0)=lim F(x),F(-o0)=lim F(x). x+0 K-- 则定义1,2,3中的广义积分可表示为 [f(x)dx=F(x)=F(+)-F(a), f(*)d:=F(x)-F(b)-F(-), f(x)dx=F(x)=F(+o)-F(-). 地
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 F( ) lim F(x), x→+ + = F( ) lim F(x). x→− − = 则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为 + a f (x)dx + = a F(x) = F(+ ) − F(a)， − b f (x)dx b F x − = ( ) = F(b) − F(− )， + − f (x)dx + − = F(x) = F(+ ) − F(− )
2 例3判断 广cos的收敛性 解 cos dw=sin 由于当x→+o时，sinx没有极限，所以广义积分 发散. 物
例 2 求 d . 1 1 0 2 x x + + 解 x x d 1 1 0 2 + + + = 0 arctan x . 2 0 2 − = = cos d . 0 x x的收敛性 + 例 3 判断 解 cos d sin . 0 0 + + = x x x 由于当 x → + 时，sin x 没有极限，所以广义积分 发散
例4计算 se'dx. 解用分部积分法，得 ∫xede=axde=e-eu =-e-l 其中lim xe*=limx 1 1X→-00 e=lim 即e-=0 金移
例 4 计算 e d . 0 x x x − 解 用分部积分法，得 − = 0 de x x x x x e d 0 − − − = − 0 0 xe e dx x x e 1. 0 = − = − − x x x x x x x − →− →− = e 其 中 lim e lim 0, e 1 lim = − = − →− x x e 0. 0 = − x 即 x
例5判断 的收敛性 xIn x 解 dinx=Ininx In x 故该积分发散. 电
例 5 判断 . ln d e + 的收敛性 x x x 解 + = e ln dln x x + e ln d x x x + = e ln ln x 故该积分发散