第八章微分方程 第一节微分方程的基本概念 一、问题的提出 例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(,y)处的切 线的斜率为2x,求这曲线的方程 解： 设所求曲线为y=f(x) y =2x dx 其中x=1时，y=2 y=2xdx 即y=x2+C, 求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
第八章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x, y)处的切 线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解： 设所求曲线为 y f x = ( ) x dx dy = 2 其中 x = 1时, y = 2 y = 2xdx , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x +
第八章微分方程 例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶，当制动 时列车获得加速度-0.4米/秒2，问开始制动后多少时间列 车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？ 解：设制动后t秒钟行驶s米，s=s(t) di=-0.4t=0时，s=0,w d's ds _dt =20, =-0.4t+C1s=-0.2+Ct+C2 dt 代入条件后知C1=20,C2=0v==-0.4t+20, _dt 故s=-0.2t2+20t, 20 开始制动到列车完全停住共需t= 2=50(秒)， 0.4 列车在这段时间内行驶了5=-0.2×502+20×50=500（米）
第八章 微分方程 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动 时列车获得加速度 − 0.4米/秒 2 ,问开始制动后多少时间列 车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？ 解： 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C 代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 = = −0.4t + 20, dt ds v 0.2 20 , 2 故 s = − t + t 开始制动到列车完全停住共需 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米
二、微分方程的定义 1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. y'=xy,y"+2y'-3y=e*,(t2+x)dt+xdx =0, 2.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶 例 =2x,x3y"+x2y”-4y=3x2, dx y4)-4y"+10y"-12y'+5=sim2x 一阶微分方程F(x,y,y)=0, y'=f(x,y)为 高阶()微分方程 F(,y,y,,y=0,ym=f(x,,y',…ym-)
二、微分方程的定义 1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, 2 3 , x y + y − y = e ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶. 例 4 3 , 3 2 2 2x, x y + x y − xy = x dx dy = y 4y 10y 12y 5 sin2x (4) − + − + = 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y
三、主要问题求方程的解 1.代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方 程的解 设y=p(x)在区间I上有n阶导数， F(x,p(x),p'(x),,pm(x)》=0. 2微分方程的解的分类： (1)通解：微分方程的解中含有任意常数，且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同. 例y=y, 通解y=Ce'; y"+y=0, 通解y=C,sinx+C,cosx;
三、主要问题--求方程的解 1. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方 程的解. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 2.微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同. 例 y = y, ; x 通解 y = Ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x
一(2)特解 确定了通解中任意常数以后的解， 解的图象：微分方程的积分曲线 通解的图象：积分曲线族 初始条件：用来确定任意常数的条件 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题， [y'=f(x,y) 一阶： (y"=f(x,y,y) (x==y0 二阶： Vx=%F02 x=%=Fo 由微分方程寻找它的解的过程叫做解微分方程
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 由微分方程寻找它的解的过程叫做解微分方程
例3验证y=(C,+C,x)e (C,C,为任意常数) 是方程y"+2y+y=0的通解， 并求出满足初始条件yl0=4,y'儿kx0=-2的特解 解：求出函数y=(C,+C,x)ex导数 y'=C2e *+(C+C2x)e *(-1) y'=(C2-C)e *-C,xe-* y"=(C-2C2)e *+C,xe
2 1 2 ) ( , ) x C x e C C − 例3 验证y=(C1 + 为任意常数 0 0 '' 2 ' 0 , | 4, ' | 2 . x x y y y y y = = + + = = = − 是方程 的通解 并求出满足初始条件 的特解 2 : ) x C x e− 解 求出函数y=(C1 + 导数 2 1 2 ' ( ) ( 1) x x y C e C C x e − − = + + − 2 1 2 ' ( ) x x y C C e C xe − − = − − 1 2 2 '' ( 2 ) x x y C C e C xe − − = − +
将y,y',y"代入原方程得： 左边=(C,-2C,)e+C,xe+2(C2-C)ei -2C2xe *+(C+C2x)e x =(C-2C+C)e *+(C2x-2C2x+C2x)e +2(C,-C2)ex =0 将初始条件ylxo=4代入得： C,=-4
将y y y , ', '' : 代入原方程得 2 2 2 1 2 1 2 2 ) 2( ) 2 ( ) x x x x x C e C xe C C e C xe C C x e − − − − − − + + − − + + 左边 1 =(C 1 1 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) 2( ) 0 x x x C C e C x C x C x e C C e − − − − + + − + + − = 1 =(C 0 1 | 4 : 4 x y C = = = − 将初始条件 代入得
将y'1xo=-2代入得 C2=2 把C,C,的值代入， 就得所求的解： y=(4+2x)ex
0 2 ' | 2 2 x y C = = − = 将 代入得 1 2 , , : (4 2 ) x C C y x e − = + 把 的值代入 就得所求的解
例4验证：函数x=C cos kt+C,sint是微分 方程x+x=0的解 并求满足初始条件 =A, =0的特解
例 4 验证:函数 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是微分 方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解
解 dt =-kC:sin kt+kC2 cos kt, h三-kCs-2C,simk 将和x的表达式代入原方程， -k2(C cos kt +C2 sin kt)+k2(C cos kt+C2 sin kt)=0. 故x=C,cos kt+C,sin kt是原方程的解 X0=A, =0, dt o .C=A,C2=0. 所求特解为 x=Acos kt
解 sin cos , kC1 kt kC2 kt dt dx = − + cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − , 2 2 将 和x的表达式代入原方程 dt d x ( cos sin ) ( cos sin ) 0. 1 2 2 1 2 2 − k C kt +C kt + k C kt +C kt cos sin . 故 x = C1 kt + C2 kt是原方程的解 , 0, 0 0 = = = = t t dt dx x A , 0. C1 = A C2 = 所求特解为 x = Acoskt