黄河水利职业技术学院 课件 平面曲线的弧长_高等数学第二单元

、 平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两1 个端点，在弧上插入分点 A=M,M1,…M9 …,Mm1,Mn=B 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长∑lM-1M,的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长

o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1   并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1  1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念

生 、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x) (a≤x≤b),其中f(x) 在4，b上有一阶连续导数 取积分变量为r,a,b] 上任取小区间x,x+x], a x x+dxh 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长V(c)2+()2=√1+y2 弧长元素=√1+y弧长s=∫1+yc

设曲线弧为y = f (x) (a  x  b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长  dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+  弧长元素 ds y dx 2 = 1+  弧长 1 . 2 s y dx b a = +  二、直角坐标情形

例1计算曲线y= 上相应玉加那的一段 弧的长度 解y'=, ∴西=V1+(x)2c=V1+xdk, 所求弧长为 s=V1+x-31+b)2-0+a)l

例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x 从a 到b 的一段 弧的长度. 解 , 2 1  y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1  = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b

例2计算曲线y=∫广nsin0d0的弧长(0≤x≤m). 解y=n,sin. n s=1+=1+sin = 1+sint.ndt 王王王 =小(sn+m+2n =n+co分}=4n

例 2 计算曲线y n  d n x  = 0 sin 的弧长(0  x  n). 解 n n x y n 1  = sin  sin , n x = s y dx b a = +  2 1 dx n n x   = + 0 1 sin x = nt + t  ndt   0 1 sin dt t t t t n   +       +      = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n        = + 0 2 cos 2 sin = 4n

参数方程情形 曲线弧为 x=o(t) ly=v(t) (a≤t≤B) 其中p(t),y(t)在a,B]上具有连续导数. ds=√/(dx)2+(dy)2=Vp'2(t)+w2(t)1(t)2 =Vp'2(t)+2(t)t 工工 弧长s=∫v@20)+y(0)

曲线弧为 , ( ) ( )    = = y t x t   (  t   ) 其中(t), (t)在[,  ]上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 =  + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t dt  =  +      三、参数方程情形

22 2 例3求星形线x3+y3=a3(a>0)的全长 x=acos't 解星形线的参数方程为 y-asin't (0≤t≤2π) 根据对称性S=4s1一第一象限部分的弧长 +d-4 3asimtcostd =6a

例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0)的全长. 解 星形线的参数方程为    = = y a t x a t 3 3 sin cos (0  t  2) 根据对称性 4 1 s = s (x ) ( y ) dt   =  +  2 0 2 2 4 a t tdt   = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 第一象限部分的弧长

例4证明正弦线y=asinx(0≤x≤2π)的弧长 x=cost 等于椭圆 y-I+asint (0≤t≤2π)的周长. 证设正弦线的弧长等于$1 3,=1+Jy&=1+a2cos2x -2f v1+a"cos2 xdx, 设椭圆的周长为S2

例 4 证明正弦线y = a sin x (0  x  2)的弧长 等于椭圆    = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0  t  2)的周长. 证 设正弦线的弧长等于 1 s s y dx   = +  2 0 2 1 1 a xdx   = + 2 0 2 2 1 cos 设椭圆的周长为 2 s 2 1 cos , 0 2 2 a xdx   = +

=Gy+0 根据椭圆的对称性知 s2(sint)++aYcost)d =2+a cos2 tdt -2f1+a cos'xdx=5 故原结论成立

( ) ( ) , 2 0 2 2 2 s x y dt   =  +  根据椭圆的对称性知 s ( t) ( a )( t) dt   = + + 0 2 2 2 2 2 sin 1 cos a xdx   = + 0 2 2 2 1 cos , 1 = s 故原结论成立. a tdt   = + 0 2 2 2 1 cos

士四、极坐标情形 曲线弧为r=r(O) (a≤0≤B) 其中p(O)在a,B]上具有连续导数. ∫x=r8)cos9 ly=r(e)sine (as0sp) ∴.k=V(d)2+()2=r2(0)+r2(0)d0: 弧长s=r()+r0)a0

曲线弧为 r = r( ) (    ) 其中( )在[,  ]上具有连续导数.    = =     ( )sin ( )cos y r x r  (    ) 2 2 ds = (dx) + (dy) ( ) ( ) , 2 2 = r  + r  d 弧长 ( ) ( ) . 2 2      s r r d  = +  四、极坐标情形

5求极坐标系下=如})的长 (a>0)(0≤0≤3π) 解r-an=n号 s=∫√r2(0)+r2(8)M8 广到)+r(no9jo

例 5 求极坐标系下曲线 3 3 sin       =  r a 的长. (a  0) 解      s r r d   = ( ) +  ( ) 2 2 3 1 3 cos 3 3 sin 2          =    r a , 3 cos 3 sin 2          = a . 2 3 = a     a a d 4 2 2 6 2 3 cos 3 sin 3 sin              +        = 3 0   d 2 3 sin         = 3 0 a (0    3)