第二节函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
第二节 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理如果函数(x),v(x)在点x处可导，则它 们的和、差、积、商分母不为零)在点处也 可导，并且 (1)[u(x)±v(x)'=t'(x)±v'(x); (2)[u(x)v(x)'='(x)y(x)+(x)v'(x)为 (3)rxr=4(r(-()p'x (y(x)≠0)， v(x) v2(x)
一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 可导,并 且 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 处 也 如果函数 在 点 处可导,则 它 x u(x), v(x) x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x
证 [士(x川 +imu(e+Ae)±(x+△e-u(x)士vx月 4r-→0 △x lim (x+△r)-x±lim (x+△x)-v(x) △x-→0 △x △r→0 △ 牛u'(x)±v'(x) 于是法则(1)获得证明.法则(1)可简单地表示为 (u士)=d士p
证 x v x x v x x u x x u x x u x x v x x u x v x u x v x x x x + − + − = + + − = → → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim [ ( ) ( )] 0 0 0 于是法则(1)获得证明. 法则(1)可简单地表示为 (u v) = u v = u x v x ( ) ( )
证(2) [u(x)v(x)]'=lim [u(x+△x)v(x+△x)]-u(x)v(x) △x→0 △x -lim A)-u+Ax)-v)] △r→0 △x △x =limu(x+△)-4(x) limv(x+△x) △x→0 △x △x→0 +u(x)lim v(x+△x)-v(x) △x→0 =u'(x)v(x)+u(x)v'(x) 于是法则(2)获得证明.法则(2)可简单地表示为 (uy)'='v±uv
0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x u x x v x x u x v x u x v x x u x x u x v x x v x v x x u x x x u x x u x v x x x v x x v x u x x u x v x u x v x → → → → → + + − = + − + − = + + + − = + + − + = + 证(2) 于是法则(2)获得证明. 法则(2)可简单地表示为 (uv) = u v uv
证(3) u(x+△x)u(x) u(x)y=lim v(x+△r)v(x) v(x) △x→0 △x lim[ u(x+△xr)v(x)-u(x)v(x+△x) △x→0 v(x+△r)v(x)△x lim [u(x+Ax)-)-(x)v(x+Ax)-v(x) △x>0 v(x+△x)v(x)△x x+Ax）-)-Mx+A）-四 lim △x △x △x→0 v(x+△x)v(x) ='(x)v(x)-u(x)p'(x) v2(x)
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim [ ] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) x x x x u x x u x u x v x x v x v x x u x x v x u x v x x v x x v x x u x x u x v x u x v x x v x v x x v x x u x x u x v x x v x v x u x x x v x x → → → → + − + = + − + = + + − − + − = + + − + − − = + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x u x v x v x − = 证(3)
于是法则(3)获得证明.法则(3)可简单地表示为 u'v-uv' 在法则(2)中，当(x)=c(C为常数)时，有 (Cu)'=C
于是法则(3)获得证明. 法则(3)可简单地表示为 . 2 v u v uv v u − = 在法则(2)中,当 v(x) = c (C 为常数)时,有 ( ) Cu Cu =
例1求y=3x3-2x2+2sinx-9的导数. 解 y'=9x2-4x+2c0sx 例2f)=+4cosx-sn号求r)及r( 解f'(x)=3x2-4sinx 3
例1 3 2 2sin 9 . 求 y = x 3 − x 2 + x − 的导数 解 2 y x x x = − + 9 4 2cos 例2 求 及 3 ( ) 4cos sin , 2 f x x x = + − ( ) ( ) 2 f x f 解 4 4 3 ) 2 ( ( ) 3 4sin 2 2 = − = − f f x x x
例3y=e'(sinx+cosx),求y' y'=(e*)'(sinx+cosx)+e*(sinx+cosx)' =(e*)(sinx+cosx)+e*(cosx-sinx) =2e*cosx
例3 y e (sin x cos x), 求 x = + y 解 e x e x x e x x y e x x e x x x x x x x 2 cos ( )(sin cos ) (cos sin ) ( ) (sin cos ) (sin cos ) = = + + − = + + +
例4 求y=anx的导数. 解 y=(tanxy=(sinxy coSx (sinx)cosx-sinx(cos.x) cosx =cosx+sin2x 1 =secx cos2 x cos2x 即 (tanx)'=sec'x. 同理可得 (cotx)'=-csc2x
例4 求 y = tan x的导数. 解 ) cos sin = (tan ) = ( x x y x x x x x x 2 cos (sin )cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x = x (cot ) csc . 2 同理可得 x = − x
例5 求y=secx的导数. 解 y=(secxy'=(-1y coSx =(1)'cosx-1(cosx)' cos2 x sinx cos2x =secxtanx 即(secx)'=secxtan x, 同理可得(cscx)/=-cscxcotx
例5 求 y = secx的导数. 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x x 2 cos (1)cos −1(cos ) = 2 sin cos x x = = secx tan x 即 (secx) = secxtan x. 同理可得 (csc x) = −csc xcot x