第八章微分方 第四节二阶常系数线性微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程 四、小结
第四节 二阶常系数线性微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 三、 二阶常系数非齐次线性微分方程 第八章 微分方程
一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y(+py(+..+P'+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 x"+py'+qy=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+py'+qy=f(x)
一、定义 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程法 y"+py'+y=0 设y=e, 将其代入上方程，得 (r2+pr+q)e=0ew≠0， 特征方程 故有 r2+pr+q=0 -2X+入 X+X 特征根1，=P土D=
-----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0 二、二阶常系数齐次线性方程解法
有两个不相等的实根 特征根为5=-P+p-4g p-p2-4g 2 两个线性无关的特解 y,=e,y2=e, 得齐次方程的通解为y=C,ex+C,ex;
有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e 特征根为
有两个相等的实根 特征根为片=，=- 一特解为y 设另一特解为y2=u(x)e, 将2，，代入原方程并化简， u"+(2r+p)W'+(2+pr+q)u=0, 知u"=0,取u(x)=x,则y,=xe, 得齐次方程的通解为y=(C,+C2x)e;
有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为
有一对共轭复根 (△<0) 特征根为=a+jB,3=a-jB, y =elim,y =elais 重新组合 月=20y+)=ecos, 1 乃-2-2)=c“sA 得齐次方程的通解为 +X-2X+X y=e(C cosBx+C,sin Bx)
有一对共轭复根 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = ( 0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = + 特征根为
定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法， 例1 求微分方程y”一2y一3y=0的通解 解 特征方程为r2-2r-3=0, 解得1=-1,2=3， 入X十X= 故所求通解为 y=Cie x+Cex
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法. 求微分方程y －2y －3y = 0的通解. 解 特征方程为 2 3 0 , 2 r − r − = 解得 1, 3, r1 = − r2 = 故所求通解为 . 3 1 2 x x y = C e +C e − 例1
求二阶常系数线性方程y"+py'+心=O的通解步骤 ①)写出特征方程2+pr+q=0 (2)求出特征方程的两个根5,5 (3)根据两个根r,5 的不同情形，按下表写出通解
求二阶常系数线性方程y py qy '' ' 0 + + = 的通解步骤 2 (1) 0 写出特征方程 r pr q + + =1 2 (2) , 求出特征方程的两个根 r r 1 2 (3) , 根据两个根 r r 的不同情形,按下表写出通解
表1：齐次线性方程通解表 特征方程的两个根，5 方程y"+py'+9y=0的通解 两个不相等的实根，5 y=Ce"x+Ce* 两个相等的实根5,2 y=(C+Cx)ex 共轭复根5,52=a±B1 y=e%(C cos Bx+C2 sin Bx)
1 2 特征方程的两个根 r r, 方程y py qy '' ' 0 + + = 的通解 1 2 两个不相等的实根 r r, 1 2 1 2 r x r x y C e C e = + 1 2 两个相等的实根 r r, 1 1 2 ( ) r x y C C x e = + 1 2 共轭复根r r i , = 1 2 ( cos sin ) x y e C x C x = + 表1 :齐次线性方程通解表
例2 求y"+2y'+5y=0的通解 解 所给方程的特征方程为： r2+2r+5=0 r=-1+2i5=-1-2i 所求通解为 +X-2X+X y=e (C cos2x+C,sin 2x)
例2 '' 2 ' 5 0 . 求y y y + + = 的通解 解 所给方程的特征方程为: 2 r r + + = 2 5 0 1 2 r i r i = − + = − − 1 2 1 2 所求通解为 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x y e C x C x − = +