、 函数的平均值 实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌. y1+y2+· 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题：求气温在一昼夜间的平均温度， 入手点：连续函数f(x)在区间[a,b止的平均值 讨论思想：分割、求和、取极限
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌. n y y y y + + n = 1 2 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值. 讨论思想：分割、求和、取极限. 一、函数的平均值
(1)分割：把区间[a,b]分成等分 a=x0<x<x2<<x-1<x=b, 每个小区间的长度A=b-a; (2)求和：设各分点处的函数值为y0,1,y2,,ym 函数f(x)在区间[a,b上的平均值近似为 y0+y+y2+…y-1: (3)取极限：每个小区间的长度趋于零
（1）分割： 把区间[a,b]分成n 等分 , a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 每个小区间的长度 ; n b a x − = 设各分点处的函数值为 n y , y , y , , y 0 1 2 函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值近似为 ; 0 1 2 1 n y y y y + + + n− 每个小区间的长度趋于零. （2）求和： （3）取极限：
函数f(x)在区间[a,b上的平均值为 y=lim%+y++…ya1 1→00 y=lim%+y+2+…yn b-a n-→co b-a n= 1 b-a Ax0 i=1 f(x)dx 几何平均值公式 b-aa 区间长度 (b-)=(b-)f(5)
lim , 0 1 2 1 n y y y y y n n − → + + + = 函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值为 n b a b a y y y y y n n − − + + + = − → 0 1 2 1 lim = x = − → − = n i i x y x b a 1 1 0 lim 1 lim ( ) , 1 1 1 0= − → − = n i i x f x x b a − = b a f x dx b a y ( ) 1 几何平均值公式 区间长度 = (b − a) y = (b − a) f ( )
例1计算纯电阻电路中正弦交流电i=I sinot在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）， 解设电阻为R, 则电路中的电压为 u=iR =I Rsin @t, 功率p=ui=Im2Rsin2ot, 一个周期区间10,27， 平均功率p=广Rsin2o
例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i I t = m sin 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）. 解 设电阻为 R ， 则电路中的电压为 u = iR I Rsin t, = m 功率 p = ui sin , 2 2 I R t = m 一个周期区间 ], 2 [0, 平均功率 p I R tdt m 2 2 2 0 sin 1 2 =
p-点r.Rna恤-' (1-cos2)d() 4π 4π 4元 (U=IR) 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一·
p I R tdt m 2 2 2 0 sin 1 2 = sin ( ) 2 2 0 2 2 td t Im R = (1 cos 2 ) ( ) 4 2 0 2 t d t Im R = − 2 0 2 2 sin2 4 = − t t Im R 2 4 2 = Im R 2 2 Im R = . 2 mUm I = (U I R) m = m 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均 功率.交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值。 周期性非恒定电流（如正弦交流电) 的有效值规定如下：当(t)在它的一个周 期T内在负载电阻R上消耗的平均功率， 等于取固定值I的恒定电流在R上消耗的功 率时，称这个值1为(t)的有效值
通常交流电器上标明的功率就是平均 功率．交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流i （如正弦交流电） 的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周 期T 内在负载电阻R上消耗的平均功率， 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功 率时，称这个值I 为i(t) 的有效值. 二、均方根
有效值计算公式的推导 固定值为I的恒定电流在R上消耗的功率为R, 电流(t)在R上消耗的功率为2(t)R, 它在0，TI上的平均功率为P()Rt, 按定义有IPR=P()R, 户=70i即1=7roa
固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I R 2 , 电流i(t)在R上消耗的功率为i (t)R 2 , 它在[0,T]上的平均功率为 ( ) , 1 0 2 T i t Rdt T ( ) , 1 0 2 2 = T i t Rdt T 按定义有 I R = T i t dt T I 0 2 2 ( ) 1 ( ) . 1 0 2 = T i t dt T I 有效值计算公式的推导 即
正弦交流电(t)=I sinot的有效值 sin' sinwtd(wt) 2 √2 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 函数f(x)在[a,b]上的均方根 (x)d. 出
正弦交流电i t I t ( ) = m sin 的有效值 I I tdt m 2 0 2 2 sin 1 2 = ( ) 2 2 0 2 2 sin td t Im = 2 0 2 2 sin2 4 = − t t Im . 2 m I = 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2 1 ( ) . 1 2 − b a f x dx b a 函数 f ( x)在[a,b]上的均方根
三、小结 函数的平均值y=,xd 函数的有效值 (理解平均功率、电流的有效值等概念) 王王王王王
函数的平均值 函数的有效值 ( ) ; 1 − = b a f x dx b a y ( ) . 1 2 − b a f x dx b a （理解平均功率、电流的有效值等概念） 三、小结