第十一章 压杆稳定 压杆稳定的概念 压杆的稳定计算 细长压杆的临界力 小结 压杆的临界应力
第十一章 压杆稳定 压杆稳定的概念 小结 压杆的临界应力 细长压杆的临界力 压杆的稳定计算
第一节 压杆稳定的概念 压杆稳定一压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳 定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性) 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。 梅定平衡 临界状态 不定平衡 临界力一压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。 4
第一节 压杆稳定的概念 压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳 定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳
第二节 细长压杆的临界力 一、两端铰支细长压杆的临界力 Bs以 一两端较支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式） 12 二、其他支承情况下细长压杆的临界力 乃，=En ()2 式中：Imw一压杆横截面对中性轴的最小惯性矩； ul一计算长度； 一长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：=2： 两端铰支细长压杆： u=1: 一端固定，一端铰支压杆：u=0.73 两端固定细长压杆： =0.5
一、两端铰支细长压杆的临界力 第二节 细长压杆的临界力 2 2 l EI Plj = —两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式） 二、其他支承情况下细长压杆的临界力 2 min 2 ( l) EI Plj = 式中： Imin⎯压杆横截面对中性轴的最小惯性矩； μl⎯计算长度； ⎯长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：μ＝2； 两端铰支细长压杆： μ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7； 两端固定细长压杆： μ＝0.5
例11-1：载面为200×120mm的轴向受 压木柱，l=8m,柱的支承情况是：在 最大刚度平面内压弯时为两端铰支 (图a)；在最小刚度平面内压弯时为 200 两端固定（图b)。木材的弹性模量 E=l0GPa,试求木柱的临界压力。 (图a) (图b) 解：（1)计算最大刚度平面内的临界压力 (即绕轴失稳)》 中性轴为轴：1，=120x200 =80×10°mm 12 -200 木柱两端铰支，=1，则得： π2E1,_3.142×10×103×80×10° =123kN (l02 (1×8000)2
例11-1：截面为200×120mm2的轴向受 压木柱，l=8m，柱的支承情况是: 在 最大刚度平面内压弯时为两端铰支 （图a）；在最小刚度平面内压弯时为 两端固定（图b）。木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力 （即绕y轴失稳） 中性轴为y轴： ( ) ( ) k N l EI P y l j 123 1 8000 3.14 10 10 80 10 2 2 3 6 2 2 = = = y z 200 120 120 z y 200 （图a） （图b） 木柱两端铰支，=，则得： 6 4 3 80 10 12 120 200 I y = mm = y z 200 120
(2)计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕z轴失稳) 中性轴为z轴： 200×120 -=28.8×10mm=28.8×106m 12 木柱两端固定，=05，则得： B=元EL=3.14x10x103×288x10=178KN (l2 (0.5×8000)2 由上可知：木柱的临界压力为P=123kN。 4
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳） 6 4 6 4 3 28 8 10 28 8 10 12 200 120 I z . mm . m − = = = 木柱两端固定，=，则得： ( ) ( ) KN l EI P z l j 178 0.5 8000 3.14 10 10 28.8 10 2 2 3 6 2 2 = = = 中性轴为z轴： 120 z y 200 由上可知：木柱的临界压力为Plj=123kN
第三节 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度 背断新是 其中：i I 一截面的惯性半径；为截面的几何性质； 2=心称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。 i 二、欧拉公式的适用范围 01= 元E=p 】
第三节 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E i l E A I l E l A EI A Pl j l j = = = = = 其中： —截面的惯性半径；为截面的几何性质； A I i = ＝ 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。 i l 二、欧拉公式的适用范围 p p l j p E E = = 2 2 2 或
三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图 当临界应力超出比例极限时，临界应力由经验公式计算。 on =a-b2: 0 抛物线公式 乃=oA=(a-b2)A E ,欧拉公式 临界应力总图一临界应力σ 与柔度的函数关系曲线。 12入：大柔度杆：o,= 入p入c 22 2<2。:中小柔度杆：o=a-b2
三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图 a b ; lj 2 = − 当临界应力超出比例极限时，临界应力由经验公式计算。 : ; : ; 2 2 2 a b E c l j c l j = − = 中小柔度杆； 大柔度杆； P A ( a b )A; lj lj 2 = = − 临界应力总图—临界应力lj 与柔度的函数关系曲线。 : ; : ; 2 2 2 a b E c l j c l j = − = 中小柔度杆； 大柔度杆； o λ σij E B C A λp λc σs σc σp 抛物线公式 欧拉公式 抛物线公式 欧拉公式
例11-2图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。 0.6m 解：AB压杆1=1000mmA= =615.75mm 4 -月-m- 元=W=1x1000 i7 142.9>。=123:大柔度杆； o,-TE_xx20000-967Pa 22-142.92 NCB P=o·A=96.7×615.75=59.6kN≥NB4 由结点B的平衡：∑Y=0,Ng4Sina-Px=0 P=Ne4sina≤59.6×4-47.7kw 5
96.7 615.75 59.6 ; l j l j NB A P = A = = k N 例11-2 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。 解：AB压杆l=1000mm, ; d . mm ; I d A 64 615 75 4 4 2 2 = = = 7 ; 1; 4 = = = mm = d A I i . ; 大柔度杆； i l 142 9 p 123 7 1 1000 = = = = MPa E l j 96.7 142.9 200000 2 2 2 2 = = = 由结点B的平衡： 0, sin 0; Y = NBA − Pmax = 47.7 ; 5 4 Pmax = NB A sin 59.6 = k N P a B NBA NCB P 0.6m C a B A 0.8m
第四节压杆的稳定计算 一、稳定条件 =行o,】g一极限应力法Ps-1一许可荷鞍法 n. n. 。=Pso]=plo]-折减系数法 A 今≥m]一安全系数法 0一折减系数或纵向弯曲系数；一般[o>[o],故0<1。 O(2) )nlol n.(o可 =g(2) 二、压杆的稳定计算 1.稳定计算：由P、A、I、1、u,求，查p,校核o。 2.确定许可荷载：由A、、1、、E,求[P=p[o].A。 3.设计截面：由P、1、4,求A、I。因A、o均未知，故用试 算法计算；
第四节 压杆的稳定计算 = [ w ] = —折减系数法 A P ( ) ( )[ ] ( ) = = = = w l j w W l j n n 一、 稳定条件 —极限应力法 w l j l j A n P = [ ] = [ w ]—许可荷载法 w lj P n P P = lj [nw ]—安全系数法 P P n = φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw ]，故φ<1。 二、压杆的稳定计算 1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。 3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故用 试 算法计算； 2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A
例11-3校核木柱稳定性。已知l=6m,圆截面d=20cm,两端 铰接，轴向压力P=50kN,木材许用应力[a=10MPa。 解 L_d_20-5cm i-V4-4-4 4=I =W=1×600=120: i5 查表：p0.208,p[σ]=0.208×10=2.08 P50000×4 = A π×2002 =1.59MPa<p[o] 、木杆稳定
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端 铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。 解： 120; 5 1 600 5 ; 1; 4 20 4 = = = = = = = = i l cm d A I i 查表，＝0.208, [] = 0.20810 = 2.08; = 木柱稳定。 = = 1.59 [ ]; 200 50000 4 2 MPa A P 查表： ∴ 木杆稳定。 120; 5 1 600 5 ; 1; 4 20 4 = = = = = = = = i l cm d A I i 120; 5 1 600 5 ; 1; 4 20 4 = = = = = = = = i l cm d A I i