黄河水利职业技术学院 课件 定积分的换元积分法与分部积分法_高等数学第二单元

第三节 定积分的换元积分法 与分部积分法 定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 地

一、定积分的换元积分法 第三节 定积分的换元积分法 与分部积分法 二、定积分的分部积分法

一、定积分的换元积分法 定理若函数f(x)在区间[4，b]上连续。 函数x=g()在区间[a,B]上单调且有连续导数 p'(,当t在[a,B](或[B,a)上变化时，x=p@ 的值在[a,b]上变化，且g(=a,()=b(或 o(a=b,p(B)=a)则 心fxd=fot]p'a 或fx=后fot)o'o)dr. 物地

一、定积分的换元积分法 定理 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续． 函数 x = j(t) 在区间 [a, b ]上单调且有连续导数 j(t)，当 t 在[a, b](或[b, a])上变化时，x = j(t) 的值在[a, b]上变化，且 j(a) = a，j(b) = b(或 j(a) = b，j (b ) = a ) 则  b a f (x)dx    =  b a f j(t) j (t)dt  b a 或 f (x)dx ( ( )) ( )d .  =  a b f j t j t t

证因为fx)在区间[，b]上连续，所以它可积. 设Fx)是fc)的一个原函数，则由牛顿-莱布尼茨 公式得 [f()dx=F(x)-F()-F(a). 由不定积分换元法得知 Sfl(]o(t)dt=Fl()]+C, 于是 floe]o'dt=F[lool2 =F[p(B)]-F[p(a)] =F(b)-F(a). 移潮

证 因为 f (x) 在区间[a, b]上连续，所以它可积. 设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则由牛顿 - 莱布尼茨 公式得  b a f (x)dx b a = F(x) = F(b) - F(a). 由不定积分换元法得知  f j(t)j(t)dt = Fj(t) +C， 于是     b a f j(t) j (t)dt   b a = F j(t) = Fj(b )-Fj(a) = F(b) - F(a)

例1计算 解用定积分换元法， x04,于是 令√x=t,则x=P,dx=2t,t02' -204 =2业t-ln1+t]=4-2ln3. 地

例 1 计算 . 1 4 d 0 + x x 解 用定积分换元法. 令 x = t， 则 x = t 2 ，dx = 2tdt， 于是  + 4 0 1 d x x t t t d 1 2 2 0 + = t t d 1 1 2 1 2 0       + = - 2 ln |1 | 4 2ln 3. 2 0 = t - + t = - ， 0 2 0 4 t x

例2计算+edk 解令1+e*=4,则x=lne-),dr22d t2-1 x In3 In8 t23 于是 +a-,2=2+ - =2+ln 2 物

例 2 计算 1 e d . ln8 ln3 x x  + 解 1 e t, x 令 + = 则 x = ln(t 2 - 1) ， . 1 2 d d 2 - = t t t x 于是 x t ln3 ln8 2 3 x x 1 e d ln8 ln3 + t t t d 1 3 2 2 2 2  - = t t d 1 1 2 1 3 2  2       - = + 3 2 1 1 ln 2 1 2         + - = + t t t . 2 3 = 2 + ln

例3设函数fx)在对称区间[-a,a]上连续， 求证： (1)[f(x)dx=[f(x)+f(-x)]dx; (2)当fw)为偶函数时，则fx)dx=2fx)dx: (3)当f)为奇函数时，则，fx)d=0, 证（①根据定积分性质3，得 ,fedc=八fedc+fede ① 你移惠

例 3 设函数 f (x) 在对称区间[- a, a]上连续， 求证： (2) 当 f (x) 为偶函数时， (3) 当 f (x) 为奇函数时， 证 (1) 根据定积分性质 3， - a a f (x)dx ( )d ( )d . 0 0   = + - a a f x x f x x ( )d = 0. - a a 则 f x x ( )d 2 ( )d ;  0 = - a a a 则 f x x f x x ① ( )d  ( ) ( )d ;  0 = + - - a a a (1) f x x f x f x x 得

对①式右端第一个积分用换元积分法， 2 令x=-6,则dr=-d山，xa0于是 ta 0, ∫，fe)dr=f--d) -ff(-tdr=[f(-x)dx. ② 把②式代入①式中，得 fdv=(d+f(dx =[[f(x)+f(-x)li; 地

对①式右端第一个积分用换元积分法， 令 x = - t，则 dx = - dt， x t -a 0 a 0 ， 于是 - 0 ( )d a f x x  = - - 0 ( )( d ) a f t t  = - a f t t 0 ( )d 把 ② 式代入 ① 式中，得 - 0 ( )d a f x x   = - + a a f x x f x x 0 0 ( )d ( )d  ( ) ( )d ; 0 = + - a f x f x x = 0 (- )d . ② a f x x

(2)因为fx)是偶函数，即f(仁x)=fx),得 ∫fx)de=[fx)+f-x)he -fL()+f(w)ldx =2f(x)dx; (3)因为fx)是奇函数，即f仁x)=-fx),得 f()dx-ff(x)+f(x) =f)-fx]e=0. 速

(2) 因为 f (x) 是偶函数，即 f (- x) = f (x)，得 - 0 ( )d a f x x    = + - a f x f x x 0 ( ) ( ) d    = + a f x f x x 0 ( ) ( ) d =  ； a f x x 0 2 ( )d (3) 因为 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f (x)，得 - 0 ( )d a f x x    = + - a f x f x x 0 ( ) ( ) d  ( ) ( )d 0. 0 = - =  a f x f x x

例4计算 解易知f(x)= xsim为奇函数且积 1+x2+x4 分区间对称于原点，因此 心 你杨惠

例 4 计算 d . 1 3 sin 3 2 4 5 2 x x x x x - + + 解 易知 , 1 sin ( ) 2 4 5 2 为奇函数 x x x x f x + + = 因此 d 0. 1 3 sin 3 2 4 5 2 = + + - x x x x x 且积 分区间对称于原点

例5计算∫4-2 解因为被积函数V4-x2是偶函数，且积分 区间对称于原点，得 f4-dx =2v4-xds, 令x=2sint,则dx=2 cos tdt, x01 t06 于是 电

例 5 计算 4 d . 1 1 2 x x - - 解 因为被积函数 4 , - x 2 是偶函数 且积分 区间对称于原点， 4 x dx 1 1 2 - - 2 4 d , 1 0 2 x x  = - 令 x = 2sint， 则 dx = 2cos tdt ， x t 0 1 6  0 ， 于是 得