第四节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 一、曲线的凹凸性与拐点 问题：如何研究曲线的弯曲方向？ B 0 y=f(x) f(x)+f(x,) f+) 2 y=f(x) f(x】 f西 f(x+f(x2): f(x2) f(x2) f(x) 2 0 x+x 2 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 图形上任意弧段位 于所张弦的上方
问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) x1 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B 一、曲线的凹凸性与拐点 C 2 x1 + x2 2 x1 + x2 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x 2 ( ) ( ) 1 x2 f x + f ) 2 ( x1 x2 f + ) 2 ( x1 x2 f + ( ) x1 f ( ) x1 f ( ) x2 f ( ) x2 f 第四节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
定义1设y=f(x)在区间(a,b)内可导，如果曲线=f(x) 上的每一点处的切线都位于曲线的上方（下方），则称曲 线y=fx)在(a,b)内是凸的（凹的）如图4一14（图4一 15). 定理1设函数y=f(x)在区间(a,b内可导，则曲线=f(x) 在(a,b)内为凹（凸）的充分必要条件是y=(x)在 内(a,b)单调增加（单调减少）· 再根据'(x)的单调性与f'(x)的导数f"(x)的符号之间 的关系可知：如果f”(x)>0,则f'(x)单调增加；如 果f"(x)<0,则f'(x)单调减少.因此，我们又可以得 到利用二阶导数的符号判断曲线凹凸的定理
定义1 设 在区间 内可导，如果曲线 上的每一点处的切线都位于曲线的上方(下方)，则称曲 线 在 内是凸的(凹的)如图４－１4（图４－ １5）． y f x = ( ) y f x = ( ) ( , ) a b y f x = ( ) ( , ) a b 定理1 设函数 在区间 内可导，则曲线 在 内为凹（凸）的充分必要条件是 在 内 单调增加（单调减少）． 再根据 的单调性与 的导数 的符号之间 的关系可知：如果 ，则 单调增加；如 果 ，则 单调减少．因此，我们又可以得 到利用二阶导数的符号判断曲线凹凸的定理． y f x = ( ) ( , ) a b y f x = ( ) ( , ) a b ( , ) a b y f x = ( ) f x ( ) f x ( ) f x ( ) f x ( ) f x ( ) f x ( ) 0 f x ( ) 0
f(x) y=f(x) b '(x)递增 y">0 fx)递减0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的， (2)f"(x)<0,则f(x)在[a,b1上的图形是凸的
x yo y = f (x ) x yo y = f (x ) a b A B f (x) 递增 a bB A y 0 f (x) 递减 y 0 定理 2 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 一阶和二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 图 4 －14 图 4 －15
例1判断曲线y=x3的凹凸性， 解y=3x2,y”=6x, 当x0时，y”>0, ∴.曲线在0，+oo)为凹的； 注意到，点0,0)是曲线由凸变凹的分界点
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时，y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时，y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
拐点的概念 连续曲线y=f(x)上凹凸的分界点称为该 曲线的拐点 注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 拐点的求法： (1)求出函数y=f(x)的定义域； (2)求出使f"(x)=0的点及∫"(x)不存在的点； (3)用上述所求点把定义域分成若干个部分区间； (4)在每个部分区间内判定∫"(x)的符号，由此确定 曲线的凹凸区间和拐点
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点的概念 连续曲线 上凹凸的分界点称为该 曲线的拐点 y f x = ( ) 拐点的求法: (1)求出函数 的定义域; (2)求出使 的点及 不存在的点; (3)用上述所求点把定义域分成若干个部分区间; (4)在每个部分区间内判定 的符号,由此确定 曲线的凹凸区间和拐点. y f x = ( ) ( ) 0 f x ( ) f x = f x ( )
例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间 解 .D:(-00,+0∞) y'=12x3-12x2,y"=36x(x- 2 令y"=0, 得x1=0,x2= X (-00,0) 0 0,2 (23+o) f"(x) + 0 一 0 拐点 f(x) 凹的 拐点 (0,1 凸的 凹的
例2 求曲线 y = 3x 4 − 4x 3 +1的拐点及凹、凸的区间 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(
1.9 0.5 -1-0.5 0.5 1 1.5 凹凸区间为(-0,01,0,2为1,25+∞)
, ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +
例3 求曲线y=x的拐点. 解 当≠时，y=x,y=-4x司 3 x=0是不可导点，y,y"均不存在 但在(-0,0)内，y”>0, 曲线在(-∞，0上是凹的； 在(0，+0)内，y”<0, 曲线在0，+∞)上是凸的， ∴点(0,0)是曲线y=的拐点 注意：若f"(x)不存在，点(x,f(x》也可能 是连续曲线y=f(x)的拐点
例3 . 求曲线 y = 3 x 的拐点 解 当x 0时, , 3 1 3 2 − y = x , 9 4 3 5 − y = − x x = 0是不可导点, y , y均不存在. 但在(−,0)内, y 0, 曲线在(−,0]上是凹的; 在(0,+)内, y 0, 曲线在[0,+)上是凸的. (0,0) . 点 是曲线 y = 3 x的拐点 ( ) . ( ) , ( , ( )) 0 0 0 是连续曲线 的拐点 若 不存在 点 也可能 y f x f x x f x = 注意:
二函数图形的描绘 1.曲线的渐近线 条曲线在伸向无穷远处的走向是不容易画准确 的，但如果在伸向无穷远时渐渐靠近一条直线，那 么，就可以利用这条直线将曲线的走向画准确了，这 样的直线称为渐近线
二 函数图形的描绘 1.曲线的渐近线 一条曲线在伸向无穷远处的走向是不容易画准确 的，但如果在伸向无穷远时渐渐靠近一条直线，那 么，就可以利用这条直线将曲线的走向画准确了，这 样的直线称为渐近线．
定义2，若曲线上一点沿曲线远离原点时，该点与某 固定的直线的距离趋向于零，则称此直线为曲 线的渐近线。 渐近线按其走向可分为垂直渐近线、水平渐近 线、，斜渐近线三种，本课我们仅对前两种类情形 作以芥绍. ()垂直渐近线 与y轴平行的渐近线称为垂直渐近线 (2)水平渐近线 与x轴平行的渐近线称为水平渐近线！
定义２ 若曲线上一点沿曲线远离原点时，该点与某 一固定的直线的距离趋向于零，则称此直线为曲 线的渐近线． 渐近线按其走向可分为垂直渐近线、水平渐近 线、斜渐近线三种，本课我们仅对前两种类情形 作以介绍． (1)垂直渐近线 与ｙ轴平行的渐近线称为垂直渐近线. (2)水平渐近线 与ｘ轴平行的渐近线称为水平渐近线