第三节 分部积分法 此法是利用函数乘积的求导法 则推出的一个求积分的基本方法. 移流
第三节 分部积分法 此法是利用函数乘积的求导法 则推出的一个求积分的基本方法
设函数u=(x),v=v(x)均有连续的导数，由 (uv)'=u'y+uv'uv'=(uv)'-u'v 两边求不定积分，得 ∫udw=uv-∫vdu 这就是分部积分公式 此公式的作用在于把求 ∫udw转化为求∫vdl,若 vd 易求得，利用此公式就起到了化难为易的作用 红彩激
设函数 u = u(x), v = v(x) 均有连续的导数, 由 (uv) = u v + uv 得 uv = (uv) − u v 两边求不定积分,得 udv = uv − vdu 这就是分部积分公式. 此公式的作用在于把求 udv 转化为求 vdu ,若 vdu 易求得,利用此公式就起到了化难为易的作用
例1求 xcosxdx 解：此积分用直接积分法不易求得结果， 现试用分部积分法求它.但怎样选取 u和呢？若选 u=x,dv cosxdx =d(sinx) 则 xcosxdx=xd(sinx) =xsinx- sinxdx =xsinx +cosx +C 移速
例1求 x xdx cos . 解: 此积分用直接积分法不易求得结果, 现试用分部积分法求它.但怎样选取 u 和 dv 呢？若选 u x dv xdx d x = = = , cos (sin ) 则 x xdx xd sinx cos ( ) = = − x x xdx sin sin = + + xsinx cosx C
若选 =co=xd=d0气）) 则 xcosxdx / 2cosx- 2d(cosx) 2cas-∫号ma 而上式右端比原来的积分更不易求出 所以不可以这样做， 彩流
若选 ) 2 cos , ( 2 x u = x dv = xdx = d 则 xcos xdx 2 cos ( ) 2 x = xd (cos ) 2 cos 2 2 2 d x x x x = − xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 = − 而上式右端比原来的积分更不易求出. 所以不可以这样做
例2求 x In xdx 解 u=In x,dv xdx, ② 那么，号，从而选：进入微分 于是 ∫xhxd -d2) 2h-小an 1 =x2mx-x2+C 2 边场通 红移瑰
例2 求 x xdx ln 解 设 u = ln x,dv = xdx, 那么 2 2 x v = ,从而选 x 进入微分 dx 于是 x xdx ln 1 2 ln ( ) 2 = xd x [ ln (ln )] 2 1 2 2 x x x d x = − dx x x x x 1 2 1 ln 2 1 2 2 = − = x x − x + C 2 2 4 1 ln 2 1
由此可见，如果u和dy 选取不当，就求不出结果，所以在应用分部积分法 时恰当的选取u和d)是一个关键选取u和d 般要考虑下面两点：(1)v要容易求得 (2)du要比∫ud容易积出 对分部积分法熟练后，计算时u和dw 可默记在心里，不必写出， 约移电
由此可见,如果 u 和 dv 选取不当,就求不出结果,所以在应用分部积分法 时恰当的选取 u 和 dv 是一个关键.选取 u 和 dv 一般要考虑下面两点:(1) v 要容易求得, (2) vdu 要比 udv 容易积出. 对分部积分法熟练后,计算时 u 和 dv 可默记在心里,不必写出
例3求xed 2 解 xe"dx de)=e-ed=e'-e+c 彩魂
例3 求 xe dx x 解 xe dx x ( ) x x x x x = = − = − + xd e xe e dx xe e C
例4求 x arctan xdx 解 x arctan xdx arctan xd(,） arctanx arctanx +r2 (+Darctan _x+C 2 边d 红移瑰
例4 求 x arctan xdx 解 x arctan xdx) 2 arctan ( 2 = x x d 2 1 2 tan (arctan ) 2 2 x = − arc x x d x 2 2 2 1 tan 2 2 1 x x arc x dx x = − + 2 2 2 1 1 1 tan 2 2 1 x x arc x dx x + − = − + 1 2 ( 1) tan 2 2 x = + − + x arc x C
例5求 ∫e'sinxdx 解 ∫e*sin xdx =sinxd(e*) =e*sin x- 「e"d(sinx) =e'snx-∫*cosxdx =e'sinx-∫cosxd(e*) =e*sin x-e*cosx+e*d(cosx) =e*(sinx-cosx)+ ex sinxdx ∫esmh-(mx-eos+C 约移电
例5 求 e xdx x sin 解 e xdx x sin sin ( ) x = xd e e sin x e d(sin x) x x = − e x e xdx x x sin cos = − sin cos ( ) = − x x e x x d e e sin x e cos x e d(cos x) x x x = − + (sin cos ) sin x x = − + e x x e xdx 1 sin (sin cos ) 2 x x = − + e xdx e x x C
例6求 [x+adx(a>0) 解 ∫P+aa =xyx"+a-[xd(Vx2+a") -aja F小Fg 故 ∫小+a=P+G+n(x+P+a)+c 移流
例6 求 2 2 x a dx a + ( 0) 解 2 2 x a dx + 2 2 2 2 = + − + x x a xd x a ( ) 2 2 2 2 2 x x x a dx x a = + − + 2 2 2 2 2 2 2 x a a x x a dx x a + − = + − + 2 2 2 2 2 2 2 dx x x a x a dx a x a = + − + + + 故 2 2 2 2 2 2 2 ln( ) 2 2 x a x a dx x a x x a C + = + + + + +