山西能源学院教案 授课班级能动1701-1704 授课时间 计2学时 课题（章节 2.3典型一维导热问题的分析解-通过圆筒壁的导热 及内容) 2.4通过肋片的导热 教学目的 掌握求解平壁导热的基本方法，掌握平壁中温度的基本计算公式： 和要求 掌握通过圆筒壁和肋片热流量的基本计算公式。 重点 圆筒壁导热过程中的温度分布： 难点 肋效率与肋面总效率。 教学进程 (含课堂 教学内容：通过单层圆筒壁的导热，通过多层圆筒壁的导热，带 教学内容、 第二类、第三类边界条件的一维导热问题，通过等截面直肋的导 教学方法、 热，肋效率与肋面总效率。 辅助手段等) 教学方法：讲授与练习、启发讨论、诱导式、归纳总结法。 作业布置 2-182-19 主要 《传热学》第四版，杨世铭，陶文铨， 参考资料 高等教育出版社，2006年8月 课后自我 总结分析
山西能源学院教案 授课班级 能动 1701-1704 授课时间 计 2 学时 课题（章节 及内容） 2.3 典型一维导热问题的分析解-通过圆筒壁的导热 2.4 通过肋片的导热 教学目的 和要求 掌握求解平壁导热的基本方法，掌握平壁中温度的基本计算公式； 掌握通过圆筒壁和肋片热流量的基本计算公式。 重 点 难 点 圆筒壁导热过程中的温度分布； 肋效率与肋面总效率。 教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段等） 教学内容：通过单层圆筒壁的导热，通过多层圆筒壁的导热，带 第二类、第三类边界条件的一维导热问题，通过等截面直肋的导 热，肋效率与肋面总效率。 教学方法：讲授与练习、启发讨论、诱导式、归纳总结法。 作业布置 2-18 2-19 主 要 参考资料 《传热学》第四版，杨世铭，陶文铨， 高等教育出版社，2006 年 8 月 课后自我 总结分析
山西能源学院教案 2.3典型一维导热问题的分析解-通过圆筒壁的导热 一、单层圆筒壁 已知圆筒内、外半径分别为r1、r2,内外表面温度 均匀恒定分布且分别为t,、t2,若采用圆柱坐标系 (【,φ，z)求解则成为沿半径方向的一维导热问题， 如图2-8所示假设：，=const。 1)圆简壁的温度分布 根据圆柱坐标系中的导热微分方程： -1(ay)+1a+(a)+Φ at yay 图2-8单层圆简壁 )=0 得常物性、稳态、一维、无内热源圆筒壁的导热微分方程为： dr dr 如图建立坐标系，圆筒边界条件为： 当=r1时t1；=r2时t2。对此方程积分得其通解（连续积分两 次)：t=c1nr+c2 其中c1c2均为常数，且由边界条件确定。 当1时，=t1;可2时t2,代入上式得 2- C1= =4-ln片- In() 将C1C2代入导热微分方程的通解中得圆筒壁的温度分布为： 4=4+点之1n5 n() 由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分 布。 2)圆筒壁导热的热流密度
山西能源学院教案 2.3 典型一维导热问题的分析解-通过圆筒壁的导热 一、单层圆筒壁 已知圆筒内、外半径分别为 r 1 、 r 2 ， 内外表面温度 均匀恒定分布且分别为 t１ 、t 2 ，若采用圆柱坐标系 （ r, φ ， z ）求解则成为沿半径方向的一维导热问题， 如图 2-8 所示假设： λ =const 。 1 ）圆筒壁的温度分布 根据圆柱坐标系中的导热微分方程： 得常物性、稳态、一维、无内热源圆筒壁的导热微分方程为： 如图建立坐标系，圆筒边界条件为： 当 r=r 1 时 t=t 1 ； r=r 2 时 t=t 2 。对此方程积分得其通解 ( 连续积分两 次 ) ： 其中 c 1 c 2 均为常数，且由边界条件确定。 当 r=r 1 时 ,t=t 1 ； r=r 2 时 t=t 2 ，代入上式得 将 C 1 C 2 代 入 导 热微 分 方 程 的 通 解 中得 圆 筒 壁 的 温 度 分布 为 ： 由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分 布。 2 ）圆筒壁导热的热流密度
对圆简壁温度分布求导得：华=上6，-)12 dr r 代入傅立叶定律得通过圆筒壁的热流密度： g=-2-25-5 ar r In(") 由此可见，通过圆筒壁导热时，不同半径处的热流密度与半径成反比。 3)圆筒壁面的热流量Φ Φ=Aq=2πrlq=[2πl(t1-t2)]/n(r2r1) 由此可见，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化。 二、多层圆筒壁 据热阻的定义，通过圆通壁的导热热阻为R=△t/Φ=[ln(r2r1)]/2πL 同理：对于多层圆通壁的导热问题，可根据热阻叠加原理，求：通过多层圆 = 2π(61-4) In() 通壁的导热热流量： 三、其他变截面或变导热系数的导热问题 前三种情况的求解方法：1）)求解导热微分方程得其温度分布： 2)据傅立叶定律获得导热热流量。 1、变导热系数 根据傅立叶定律求解而导热系数为变数或沿导热热流密度矢量方向导热截 面积为变量时，此方法有效。 .导热系数为温度的函数（①∴.根据傅立叶定律得：D=-A(t)(dt/dx) 分离变数积分，而Φ与X无关系，则得： Φ红=h】 -(2-) 方程右边乘以(t2-t1)(t2t1-)得： 色2-) [xoa 显然式中 -)项是在t1至t2范围内，由()积分平均值，可用万表示 Φ=5-5)】 则： Adt ,万代替 传-)不受到A与X关系的制约
对圆筒壁温度分布求导得： 代入傅立叶定律得 通过圆筒壁的热流密度： 由此可见，通过圆筒壁导热时，不同半径处的热流密度与半径成反比。 3 ）圆筒壁面的热流量 Φ Φ=A q=2πrlq =[2πλl( t 1 -t 2 )]/ ㏑ (r 2 /r 1 ) 由此可见，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化。 二、多层圆筒壁 据热阻的定义，通过圆通壁的导热热阻为 R= Δt/ Φ=[ ㏑ (r 2 /r 1 )]/ 2πλL 同理：对于多层圆通壁的导热问题，可根据热阻叠加原理，求 : 通过多层圆 通壁的导热热流量： 三、其他变截面或变导热系数的导热问题 前三种情况的求解方法： 1 ）求解导热微分方程得其温度分布； 2 ）据傅立叶定律获得导热热流量。 1 、 变导热系数 根据傅立叶定律求解而导热系数为变数或沿导热热流密度矢量方向导热截 面积为变量时，此方法有效。 ∵导热系数为温度的函数 λ(t) ∴根据傅立叶定律得： Φ= -Aλ(t)(dt/dx) 分离变数积分，而 Φ 与 X 无关系，则得： 方程右边乘以 (t 2 -t 1 )/( t 2 -t 1 --) 得： 显然式中 项是在 t 1 至 t 2 范围内，由 λ(t) 积分平均值，可用 表示 则： ∵ 代替 不受到 A 与 X 关系的制约
Φ=(4-) 适于任何的A,X 在方程中若=（①），则：=入0(1+bt)或=入0+at 由此可见：万是算术平均温度下=(t1+t2)/2的值只需把前述公式的入取平均 温度下的值即可。 综上所述四种情况的共同特点：通过热量传递的方向上Φ保持不变。 ·变截面导热 沿热量传递方向截面变化时可表示为：A=A(x) 则：D=-A(x)入(dt/dx) 通过助片的导热（变截面）属变截面导热问题，详见§2-4 2-4通过肋片的导热 一基本概念 1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面。 2、常见肋片的结构：针肋、直肋、环肋、大套片。 3、肋片导热的作用及特点 1)作用：增大对流换热面积及辐射散热面，以强化换热 2)特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热 热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：Φ≠const。 4、分析肋片导热解决的问题 一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？ 二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？ 二、通过等截面直肋的导热
∴ 适于任何的 A,X 在方程中若 λ=λ(t) ，则： λ=λ 0 (1+bt) 或 λ=λ 0 +at 由此可见： 是算术平均温度下 t=(t 1 +t 2 )/2 的值只需把前述公式的 λ 取平均 温度下的值即可。 综上所述四种情况的共同特点：通过热量传递的方向上 Φ 保持不变。 • 变截面导热 沿热量传递方向截面变化时可表示为： A=A(x) 则： Φ= - A(x) λ (dt/dx) 通过助片的导热 ( 变截面 ) 属变截面导热问题，详见 § 2-4 2-4 通过肋片的导热 一 基本概念 1 、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面 。 2 、常见肋片的结构：针肋、直肋、环肋、大套片。 3 、肋片导热的作用及特点 1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热面 , 以强化换热 2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热 热流传递的方向上热流量是不断变化的。即： Φ≠const 。 4 、分析肋片导热解决的问题 一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？ 二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？ 二、通过等截面直肋的导热
(a) (b) (c) 图2-11通过肋片的热量传递 如图2-11所示，己知肋根温度为t0,周围流体温度为to,且t0>t, 为复合换热的表面传热系数h。试确定：肋片中的温度分布及通过肋片的散热 量 解：假设1)肋片在垂直于纸面方向（即深度方向）很长，不考虑温度沿该 方向的变化，因此取单位长度分析： 2)材料导热系数入及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截 面积Ac不变： 3)表面上的换热热阻1h,远大于肋片的导热热阻δ/，即肋片上任意 截面上的温度均匀不变： 4)肋片顶端视为绝热，即dt/dx=0: 在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图2-11 (b)。若肋片各截面的温度沿高度方向是逐渐降低的如图2-11(c),则导 =0 热微分方程： x+ (1) 计算区域的边界条件是：x=0,t0to; x=h dt/dx=0 肋片的两个侧面不是区域边界，但通过两表面有热量的传递。若把通过两侧 面所交换的热量视为整个截面上的体积热源，那么针对长度为dⅸ的微元体，参
如图 2-11 所示，已知肋根温度为 t 0 , 周围流体温度为 t ∞ ，且 t 0 >t ， 为 复合换热的表面传热系数 h 。试确定：肋片中的温度分布及通过肋片的散热 量 解：假设 1 ）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该 方向的变化，因此取单位长度分析； 2 ）材料导热系数 λ 及表面传热系数 h 均为常数，沿肋高方向肋片横截 面积 Ac 不变； 3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的导热热阻 δ/λ ，即肋片上任意 截面上的温度均匀不变； 4 ）肋片顶端视为绝热，即 dt/dx=0 ； 在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图 2-11 （ b ）。若肋片各截面的温度沿高度方向是逐渐降低的如图 2-11 （ c ），则导 热微分方程： （ 1 ） 计算区域的边界条件是： x=0 ， t=t 0 -t ∞ ； x=h ， dt/dx=0 肋片的两个侧面不是区域边界，但通过两表面有热量的传递。若把通过两侧 面所交换的热量视为整个截面上的体积热源，那么针对长度为 dx 的微元体，参
与换热的截面周长为P，微元体则表面的总散热量为： Ds=(p dx)h (t-t oo) (2) 微元体的体积为：Acdk,那么，微元体的折算源项为：本=-更，= pt-。) Adx A (3) 负号表示肋片向环境散热，所以源项取负。 由(1)(3)式得：d2t/dx2=hp(tto/0Ac) (4) 由此可见，该式为温度t的二阶非齐次方程。 引入过余温度0=t-tm,使(4)式变形成为二阶齐次方程：d20/dx2=m20 边界条件当x=0时，0=0o=to一tm;当x=H时，d0/dx=0 对二阶线性齐次常微分方程求解得其通解：8=ce”+c2e 0 其中，廴为积分常数，由边界条件确定之。将边界条件代入得： 9+c2=8c1eH-c,e%H=0 将其代入通解中得胁片中的温度分布为： 0=00 emx +e 2mHe-mx )/(1+e 2mH )=00 ch[m(x-H)]/ch(mH) 令：x=H,则得肋端温度的计算式：日H=00ch(mH 据能量守恒定律知，肋片散入外界的全部热流量都必须通过x=0处的肋根 截面。 据傅里叶定律得知通过肋片散入外界的热流量为 Φx=0=-Ac(d0/dx)x=0 =-Ac0 0 (-m).sh(mH)/ch(mH) =λAc00m.th(mH) =(hp/m)00 th(mH) 说明：1)上述结论是假当在x=H时，d0/dx=0。若X=H时， 盟0 不适用： 2)计算Φ时比较简便的方法。若肋片的厚度δ，引入假想高度 H。 三、肋效率 ·定义：？，=实际散热量/假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量。 物理意义：表征肋片散热有效程度的指标
与换热的截面周长为 P ，微元体则表面的总散热量为： Φs =(p dx) h (t-t ∞ ) （ 2 ） 微元体的体积为： A c dx,那么，微元体的折算源项为： （ 3 ） 负号表示肋片向环境散热，所以源项取负。 由 (1) (3) 式得： d 2 t/dx 2 =hp (t-t ∞ )/ (λAc) （ 4 ） 由此可见，该式为温度 t 的二阶非齐次方程。 引入过余温度 θ=t-t ∞ ，使 (4) 式变形成为二阶齐次方程： d 2θ/ dx 2 =m 2θ 边界条件 当 x=0 时 , θ=θ 0 =t 0－t ∞ ；当 x=H 时 , dθ/dx=0 对二阶线性齐次常微分方程求解得其通解： 其中 ， 为积分常数，由边界条件确定之。将边界条件代入得： 将其代入通解中得胁片中的温度分布为： θ=θ 0 （ e mx +e 2mH e -mx ） /(1+ e 2mH ) =θ 0 ch[m(x-H)]/ch(mH) 令： x=H , 则得肋端温度的计算式： θ H =θ 0 /ch(mH) 据能量守恒定律知，肋片散入外界的全部热流量都必须通过 x=0 处的肋根 截面。 据傅里叶定律得知通过肋片散入外界的热流量为 Φ x=0 =-λAc(dθ/dx) x=0 =-λAcθ 0 (-m) .sh(mH)/ch(mH) =λAcθ 0 m.th(mH) =(hp/m)θ 0 th(mH) 说明： 1 ）上述结论是假当在 x=H 时， dθ/dx=0 。若 x=H 时， 不适用； 2 ）计算 Φ 时比较简便的方法。若肋片的厚度 δ ，引入假想高度 H 。 三、肋效率 • 定义： 实际散热量 / 假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量。 • 物理意义：表征肋片散热有效程度的指标