山西能源学院教案 授课班级能动1701-1704 授课时间 计2学时 课题（章节 及内容) 4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 教学目的 掌握导热问题数值解法的求解思路： 和要求 利用热平衡法建立边界节点的离散方程： 了解高斯-赛德尔迭代法的求解离散方程的步骤和特点。 重点 边界节点离散方程的建立方法： 难点 高斯-赛德尔迭代法的求解离散方程的步骤。 教学进程 (含课堂 教学内容：热平衡法建立边界节点离散方程：求解代数方程的迭 教学内容、 代法。 教学方法、 教学方法：讲授与练习、启发讨论、诱导式、归纳总结法。 辅助手段等) 作业布置 4-94-10 主要 《传热学》第四版，杨世铭，陶文铨， 参考资料 高等教育出版社，2006年8月 课后自我 本章内容以分析推导为主，要求学生具有扎实的数学功底，课堂 总结分析 上部分学生因高数基础不好而无法理解推导过程（如泰勒展开）， 老师应尽可能对相关数学知识做复习补充
山西能源学院教案 授课班级 能动 1701-1704 授课时间 计 2 学时 课题（章节 及内容） 4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 教学目的 和要求 掌握导热问题数值解法的求解思路； 利用热平衡法建立边界节点的离散方程； 了解高斯-赛德尔迭代法的求解离散方程的步骤和特点。 重 点 难 点 边界节点离散方程的建立方法； 高斯-赛德尔迭代法的求解离散方程的步骤。 教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段等） 教学内容：热平衡法建立边界节点离散方程；求解代数方程的迭 代法。 教学方法：讲授与练习、启发讨论、诱导式、归纳总结法。 作业布置 4-9 4-10 主 要 参考资料 《传热学》第四版，杨世铭，陶文铨， 高等教育出版社，2006 年 8 月 课后自我 总结分析 本章内容以分析推导为主，要求学生具有扎实的数学功底，课堂 上部分学生因高数基础不好而无法理解推导过程（如泰勒展开）， 老师应尽可能对相关数学知识做复习补充
山西能源学院教案 43边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 一、用热平衡法导出典型边界点上的离散方程 假设物体具有内热源Φ（不必均匀分布），而且边界上有向该元体传递的 热流密度qw 1、位于平直边界上的节点 /D m,n+1 n,a m,n-1 m-1,n E Ay 图4-4平直边界上的节点 图4-5外部角点与内部角点 如图所示4-4边界节点(m,)只能代表半个元体，若边界上有向该元体传 递的热流密度为qw,据能量守恒定律对该元体有： -aAy+u+.+中+Ag, △x Ay 2 2 2 0(4-9) 若△x=△y,则：n=2m-m+imn+5nn △x2中mn+2△9地) (4-10) 2、外部角点 如图4-5所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表1/4个以△x, △y为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为qw,则据能量守 恒定律得其热平衡式为： n-1”-m,n义+.+△y币十△x十Ay。 x 2 2 w=0 4 2 (4-11)
山西能源学院教案 4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 一、用热平衡法导出典型边界点上的离散方程 假设物体具有内热源 ( 不必均匀分布 ) ，而且边界上有向该元体传递的 热流密度 qw： 1 、位于平直边界上的节点 如图所示 4-4 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向该元体传 递的热流密度为 qw，据能量守恒定律对该元体有： （4 -9 ） 若 △x=△y，则： （4-10 ） 2 、外部角点 如图 4-5 所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表 1/4 个以 △x， △y 为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为 q w，则据能量守 恒定律得其热平衡式为： （ 4 -11 ）
Im,n= 号m-n+m-1 △x2中mn+ Axqw) 若△x=△y时，则： 2元 (4-12) 3、内部角点： 如图4-5所示内部角点代表了3/4个以△x,△y为边界长的元体。 同理得： --62Ay+.△x+.A+2s-t2 △x Ay Ay 2 △x 2 △xy币a+Ar+Ayg + 4 2 w=0 (4-13) △x=△y时，则： （2达m-1,n+2%n+1+m,n-1+m+1,n im,n 3Ax2币m2+2△x9地) 22 (4-14) 4、讨论有关qw的三种情况： 1)若是绝热边界 则qw=0,即令上式qw=0即可。 2)若qw≠0时 流入元体，qw取正，流出元体，qw取负使用上述公式。 3)若属对流边界 则：9w=h;-‘"x）,将qw代入上式即可。 △x=△y时，则： 对于平直边界： 2+2mn=2m-n+m,为+1+城-142 -①重m,n+ 2h△x (4-15) 对外角点： 2(+104m,4=m-1n+imn-1+ x2. 月中m,n+2h4x) (4-16) 对内角点：
若 △x=△y 时，则： （ 4-12 ） 3 、内部角点： 如图 4-5 所示内部角点代表了 3/4 个以 △x，△y 为边界长的元体。 同理得： ( 4 -13 ) △x=△y 时，则： （ 4-14 ） 4、讨论有关 qw的三种情况： 1 ）若是绝热边界 则 q w=0，即令上式 q w=0 即可。 2 ）若 q w≠0 时 流入元体，q w 取正，流出元体，q w 取负使用上述公式。 3 ）若属对流边界 则： ，将 q w代入上式即可。 △x=△y 时，则： 对于平直边界： （ 4-15 ） 对外角点： （ 4-16 ） 对内角点：
2(合+3mn=2m-ln+2m,n1+m+1n+m-1+ Ax2. 2 m.n+ hAxty (4-17) hhx 其中， A无量纲数是以网格步长△x为特征长度的毕渥数，即为Bia。 二、代数方程的求解方法 1、直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2、迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改 进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收 敛。目前应用较多的是： 1)高斯一赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。 2)用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。 设有一三元方程组： a11+41242+a133=b1 a21+a242+a2343=b2 a311+a322+a33=3 (4-18) 其中(i1,2,3；j=1,23)及46=1,2，均不为零。 采用高斯—赛德尔迭代法的步骤： (1)将三元方程变形为迭式方程： 4=1a-a5-a) a t2= 1o2-a21-a) a2 (4-19) 车=13-4的-45) d33 (2)假设一组解（迭代初场），记为：”、”、，并代入迭代方程求得 第一次解”、少、四，同理求得改进值、、，（注：再次计算应该 用新值)如： 40=14-a1220-a4330) 1
（ （ 4-17 ） 其中， 无量纲数是以网格步长 △x 为特征长度的毕渥数，即为 Bi△。 二、代数方程的求解方法 1 、直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2 、迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改 进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收 敛。目前应用较多的是： 1 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。 设有一三元方程组： （ 4-18 ） 其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 均不为零。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （ 1 ）将三元方程变形为迭式方程： （ 4-19 ） （ 2 ）假设一组解（迭代初场），记为： ，并代入迭代方程求得 第一次解 ，同理求得改进值 ，（注：再次计算应该 用新值）如：
20=102-a2140-a2330) (4-20) (3-a31400-a3220) a33 （3)以新的初场”，号，重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值， 则称迭代收敛，计算终止。 三、判断迭代收敛的准则 1、max-川≤e -+1 max 2 (4-21) max 3 其中上角标k,k+1表示迭代次数，mx为第k次迭代计算所的计算区 域中的最大值。若计算区域中有t→0时，应采用3判断之
（ 4-20 ） （ 3 ）以新的初场 重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值， 则称迭代收敛，计算终止。 三、判断迭代收敛的准则 1 、 2 、 （ 4-21 ） 3 、 其中上角标 k,k+1 表示迭代次数， 为第 k 次迭代计算所的计算区 域中的最大值。若计算区域中有 t→0 时，应采用 3 判断之。 折叠