山西移源宇院 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 第四章 导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
山色秘源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 4.1导热问题数值求解的基本 思想 数值解法的基本思想： 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 点（称为节点）的温度近似值来代替物体内实际连续的 温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各 节点温度值的求解问题 对各离散节点建立代数离散方程，将导热微分方程 的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法：有限差分法(finite-difference)、有限元 法(finite-element)、边界元法(boundary- element) 2
2 4.1 导热问题数值求解的基本 思想 数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的 温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各 节点温度值的求解问题， 对各离散节点建立代数离散方程，将导热微分方程 的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元 法 （ finite-element ） 、 边 界 元 法 （ boundaryelement）
山多能源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY a 有限差分的数学基础是用差商代替 微商（导数） 。 几何意义是用函数在某区域内的 平均变化率代替函数的真实变化 率。 \X0 X 图中用ToT、T2表示连续的温度场万；x为步长，它将区域的X方 向划分为有限个数的区域，△xo△x△x2,它们可以相等，也可 以不相等。当△x相等时，T处的真实变化率a可以用平均变化率b、G 或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间 的变化率
有限差分的数学基础是用差商代替 微商（导数）。 几何意义是用函数在某区域内的 平均变化率代替函数的真实变化 率。 Δ Δx1Δx2 Δx3 x0 x T T3 T T2 1 T0 b d c a 图中用T0、T1、T2…表示连续的温度场T；Δx为步长，它将区域的x方 向划分为有限个数的区域，Δx0、Δx1、Δx2…，它们可以相等，也可 以不相等。当Δx相等时，T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c 或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间 的变化率
山多破源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 为向后差分格式 dT1T(x)-T(x,-△x) a T dx △x c为向前差分格式 dTT(x+△x)-T(x) dx △x d为中心差分格式 △X0 △X1△X2AX3 X dTiT(x+Ax)-T(x-Ax) dx 2△x d2TT(x+△x)-2T(x)+T(x-△x) 对于二阶微商的差分格式 dx2 (△x)2
b为向后差分格式 x T x T x x dx dT − − ( ) ( ) 1 1 1 c为向前差分格式 x T x x T x dx dT − ( ) ( ) 1 1＋ 1 d为中心差分格式 x T x x T x x dx dT + − − 2 ( ) ( ) 1 1 1 对于二阶微商的差分格式 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) x T x x T x T x x dx d T + − + − Δ Δx1Δx2 Δx3 x0 x T T3 T T2 1 T0 b d c a
山多移源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变 化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律 的代数方程来表示。 当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们 就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表 示温度场的连续的温度分布。 导热问题进行数值求解时要采取三个步骤，即研究区域 的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程 (代数方程)的求解
采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变 化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律 的代数方程来表示。 当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们 就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表 示温度场的连续的温度分布。 导热问题进行数值求解时要采取三个步骤，即研究区域 的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程 （代数方程）的求解
山西破源宇院 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 4.1导热问题数值求解的基本 思想及内节点 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 设立温度场的迭代初值 建立节点物理量的代数方程 离散方程的建立 求解代数方程 改进初场 是否收敛 是 解的分析 第四章 导热问题的数值解法 6
第四章 导热问题的数值解法 6 4.1 导热问题数值求解的基本 思想及内节点 离 散 方 程 的 建 立 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 设立温度场的迭代初值 建立节点物理量的代数方程 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否
山五限源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 区域温度场的离散化 N 导热问题的温度场是假设为 uE N 时间和空间的连续函数，当 进行数值求解时首先要做的 N 事情是在所研究的时间和空 K-1时刻 间区域内把时间和空间分割 S 成为有限大小的小区域。 K时刻 K+1时刻 X 原来连续变化的温度场就被一个离散的阶跃变化的温度 分布所代替。这就是连续变化的温度场离散化处理的基 本思路
区域温度场的离散化 导热问题的温度场是假设为 时间和空间的连续函数，当 进行数值求解时首先要做的 事情是在所研究的时间和空 间区域内把时间和空间分割 成为有限大小的小区域。 K-1时刻 S W E N P S W E N P S W E N P τ x y K时刻 K+1时刻 Δx Δy 原来连续变化的温度场就被一个离散的阶跃变化的温度 分布所代替。这就是连续变化的温度场离散化处理的基 本思路
山多破源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY ,j+1) (1+1)4y 网格单元 j4i+1,j2 (j-1)4y △x(i-1)》 iAx (i+1)△xx ■节点、→内节点 i,j广-1 边界节点 均匀网格c=y 内节点离散方程的建立
( j 1) y j y(i 1, j ) ( j 1) y − + + x( i − 1 ) ix ( i + 1 )x y x (i, j + 1) (i +1, j ) (i, j − 1) ◼ 网格单元 ◼ 节点 内节点 边界节点 ◼ 均匀网格 内节点离散方程的建立 x = y
山西限源宇院 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 4.2内节点离散方程的建立方法 用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数） dt△r 例温肇分数芳 dx 蚀西将导热偏微分方程转化为节 建立节点离散方程的方法有两种： 泰勒级数展开法 热平衡法 第四章 导热问题的数值解法 9
第四章 导热问题的数值解法 9 4.2 内节点离散方程的建立方法 用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数） dt t dx x 例如 :xdx， ,进而将导热偏微分方程转化为节 点温度差分代数方程。 建立节点离散方程的方法有两种： 泰勒级数展开法 热平衡法
山西成源宇院 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 1泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(i,)的温度t红， 来表示节点(i+1,)而温度ti+1,j 4+w=t+( ，+， a3t、 Ar 3 用节点红，》的温度t五，来表示节点(i-1,)的 温度ti-1,j 、 十… 31 10
10 1 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j + + + + = + 3! x ) x t ( 2! x ) x t ) x ( x t t t ( 3 3 i, j 2 3 2 i, j 2 i 1, j i, j i, j + − + − = − 3! x ) x t ( 2! x ) x t ) x ( x t t t ( 3 3 i, j 2 3 2 i, j 2 i 1, j i, j i, j