Ou 边界层换热 Ox d "Oy 微分方程组 at ∂2t +V y 解的函数形式 特征数关联式 特征数是由一些物理量组成的无量纲数，例如毕渥 数B和付里叶数Fo。对流换热的解也可以表示成特征数 函数的形式，称为特征数关联式。 通过对流换热微分方程的无量纲化可以导出与对流 换热有关的特征数
2 解的函数形式——特征数关联式 0 u v x y + = 2 2 u u du u u v u x y dx y + = + t t u v x y + 2 2 t a y = 特征数是由一些物理量组成的无量纲数，例如毕渥 数Bi和付里叶数Fo。对流换热的解也可以表示成特征数 函数的形式，称为特征数关联式。 通过对流换热微分方程的无量纲化可以导出与对流 换热有关的特征数。 边 界 层 换 热 微分方程组
引进下列无量纲变量： U -1 X- X一 对流换热表面传热系数与温度场之间的关系式 1 (t,ts)8 tw-tOy (t-t) lr=o 1 aY hl hl Nu ay y=0 Nu Y 7=0 N称为平均努塞尔数，等于壁面法线方向上的无 量纲温度梯度，大小反映平均对流换热的强弱
3 Nu称为平均努塞尔数，等于壁面法线方向上的无 量纲温度梯度，大小反映平均对流换热的强弱。 w y 0 t h t t y = = − − 引进下列无量纲变量： Y 0 l Y = = ( ) ( w ) w Y 0 t t h t t l Y = − = − − Y 0 hl Y = = Y 0 Nu Y = = w w , , , , x y u v t t X Y U V l l u u t t − = = = = = − 对流换热表面传热系数与温度场之间的关系式 hl Nu 令 =
对于常物性、无内热源、不可压缩牛顿流体平行 外掠平板稳态对流换热，duldx=0,方程组简化为 Ov 无量纲化 OX ay O-u U 1∂2U + Y Re Oy2 2⊙ Y Re.Pr OY2 式中Re = u 称为雷诺数。由无量纲方程组可以看出： U=f(X,Y,Re) V=f(X,Y,Re) ⊙=f(X,Y,Re,Pr) a0 再由Nu= Nu=f(Re,Pr) Nu待定特征数 Y=0 Re,Pr已定特征数
4 0 u v x y + = 2 2 u u u u v x y y + = t t u v x y + 2 2 t a y = 0 U V X Y + = 2 2 U U U 1 U V X Y Re Y + = 2 2 1 U V X Y Re Pr Y + = 对于常物性、无内热源、不可压缩牛顿流体平行 外掠平板稳态对流换热，du / /dx=0，方程组简化为 无量纲化 式中 u l Re = 称为雷诺数。由无量纲方程组可以看出： U f X Y Re = ( , , ) V f X Y Re = ( , , ) = f X Y Re,Pr ( , , ) Y 0 Nu Y = 再由 = Nu f Re Pr = ( , ) Nu 待定特征数 Re,Pr已定特征数
可见，流体平行外掠平板强迫对流换热的解可以表 示成式特征数关联式的形式，即 Nu=f(Re,Pr) 对比h=f(u,tw,t,2,p,c,n,a,l,y 特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关 物理量之间的依赖关系及其对对流换热的综合影响。 5.4流体外掠平板层流边界层微分方程精确解 对于常物性、 无内热源、不可压 =0 2斤1=0 缩牛顿流体平行外 t=tw 掠等壁温平板稳态 x 1 u-Voo 层流(Re≤5×105 t=too> 换热，数学模型为
5 5.4 流体外掠平板层流边界层微分方程精确解 可见，流体平行外掠平板强迫对流换热的解可以表 示成式特征数关联式的形式，即 Nu f Re Pr = ( , ) 特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关 物理量之间的依赖关系及其对对流换热的综合影响。 对比 h f u t t c l = ( , , , , , , , , , w f ) 对于常物性、 无内热源、不可压 缩牛顿流体平行外 掠等壁温平板稳态 层流（Re≤5×105） 换热，数学模型为： 0 u v x y + = 2 2 u u u u v x y y + = t t u v x y + 2 2 t a y = y = 0, u=v=0, t = tw , y =∞ , u=u∞ , t = t∞
1.速度场 由数学模型可求出边界层的速度分布 1.0 0.8 第 0.4 0.2 0 2 3 4 5 6 (1)流动边界层厚度 D=4,92Re:2≈5.0Re2 Res= uox X 6
6 1. 速度场 1/ 2 1/ 2 4.92 5.0 Re Re x x x − − = x u x Re = (1) 流动边界层厚度 由数学模型可求出边界层的速度分布
(2)摩擦系数 由速度分布求出局部粘性切应力 Ou pu =7 v=0,x 2 f.x=0.664Re12 Re,= ux y C,x为局部摩擦系数。平均摩擦系数： C,-c-a=2=2C C=1.328Re2 Re= u.l 7
7 (2) 摩擦系数 由速度分布求出局部粘性切应力 w , 0, x y x u y = = 2 f , 2 x u C = Cf ,x 为局部摩擦系数。平均摩擦系数： f f , 0 1 l C C dx x l = 1/ 2 2 2 f ,l cl C − = = 1/ 2 0 1 l cx dx l − = u l Re = 1/2 C Re f ,x x 0.664 − = 1/ 2 C Re f 1.328 − = x u x Re =
2.温度场 1.0 300 0.8 15 3 3- 8 e 1.0 Pr=0.6 0.2 0 0.51.0 1.5 2.0 2.53.03.5 4.0 1=W x (1)热边界层厚度 流动边界层与热边界层厚度之比： Pr-3 P9 Pr= δ， 8
8 2. 温度场 (1) 热边界层厚度 流动边界层与热边界层厚度之比： t 1/3 Pr − 1 3 Pr t a Pr =
(2)特征数关联式 对于0.6≤P≤15的流体掠过等壁温平板层流换热 =0.332Rev2Pr Nu,是以x为特征长 度的局部努塞尔数。 平均表面传热系数h为 Re,= ux h-打hk=exk=2cT=2% 平均努塞尔数： Nu= hl 2hl Nu =0.664Re2Pru3 注意：上述关系式仅适用于Pr≥0.6的流体外掠等壁温 平板层流换热，定性温度为边界层的算术平均温度 =5(么+1)
9 (2) 特征数关联式 对于0.6Pr15的流体掠过等壁温平板层流换热， 1/ 2 1/3 0.332 x x x h x Nu Re Pr = = Nux是以x为特征长 度的局部努塞尔数。 平均表面传热系数h 为 0 1 l h h dx x l = 1/ 2 0 1 l c x dx l − = 1/ 2 2 2 x l c l h − = = = 平均努塞尔数: 2 2 l x l hl h l Nu Nu = = = = 1/ 2 1/3 Nu Re Pr = 0.664 注意：上述关系式仅适用于Pr0.6的流体外掠等壁温 平板层流换热，定性温度为边界层的算术平均温度 m w ( ) 1 2 t t t = + x u x Re =
3.对于Pr≥0.6的流体掠过等热流平板的层流换热，局 部努塞尔数为 Nu,=0.453Re.2Pr3 对比 Nu,=0.332 Re2Prus 当Re,、Pr相同时，常热流情况下的局部努塞尔数要比 等壁温情况大36%左右。 在常热流情况下，q,=h(1-1,)=q=常教是变化 的， (-)≠常数 平均温差定义为 -I-号8 平均努塞尔数：Nu= hl 12 (-t） dx Nu =0.680Re2Pris Nu, Nu=0.664Re2Pr13 偏差2.4% 10
10 3. 对于Pr0.6的流体掠过等热流平板的层流换热，局 部努塞尔数为 1/ 2 1/3 Nu Re Pr x x = 0.453 当Rex、Pr相同时，常热流情况下的局部努塞尔数要比 等壁温情况大36%左右。 对比 1/ 2 1/3 Nu Re Pr x x = 0.332 在常热流情况下， ，tw是变化 的， 。 x x f ( w )x q h t t q = − = =常数 ( w f )x t t − 常数 平均温差定义为 w w ( ) 0 1 l f f x t t t t dx l − = − 0 1 l x q dx l h = 0 l x q x dx l Nu = 平均努塞尔数: hl Nu = 1/ 2 1/3 Nu Re Pr = 0.680 1/ 2 1/3 Nu Re Pr = 0.664 偏差2.4％ ( w f ) ql t t = − 2 0 l x l x dx Nu =
4.热边界层厚度和流动边界层厚度 考虑一个掠过平板的强制对流换热问题，其动量方程 可简化为： Ou Ou u u +V 0x ay 2 联立能量方程： at O't 1 a +V a ay ⊙2 两者在形式上完全类似。 11
11 4. 热边界层厚度和流动边界层厚度 考虑一个掠过平板的强制对流换热问题，其动量方程 可简化为： 联立能量方程： 两者在形式上完全类似。 + = 2 2 u u u u v x y y + = 2 2 t t t u v a x y y